0. Погрешности решения математической задачи

При численном решении математических задач неизбежно появление на том или ином этапе их решения погрешностей следующих трех типов:

1. Погрешность задачи. Она связана с приближенным характером исходной содержательной модели (в частности, с невозможностью учесть все факторы в процессе изучения моделируемого явления), а также ее математического описания, параметрами которого обычно служат приближенные числа (например, из-за принципиальной невозможности выполнения абсолютно точных измерений).

2. Погрешность численного метода. Это погрешность, связанная со способом решения поставленной математической задачи и появляющаяся в результате подмены исходной математической модели другой или конечной последовательностью других, например линейных моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня.

3. Погрешность вычислений. Этот тип погрешностей обусловлен необходимостью выполнять арифметические операции над числами, усеченными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

Все три описанных типа погрешностей в сумме дают полную погрешность результата решения задачи. Поскольку первый тип погрешности не находится в пределах компетенции специалиста по вычислительной математике, который использует численные методы, то для него он служит лишь ориентиром точности, с которой следует проводить расчеты. Нет смысла решать задачу существенно точнее, чем это диктуется неопределенностью исходных данных. Таким образом, погрешность метода подчиняется погрешности задачи. Наконец, при выводе оценок погрешностей численных методов обычно исходят из предположения, что все операции над числами выполняются точно. Это означает, что погрешность вычислений не должна существенно отражаться на результатах реализации методов, т.е. должна подчиняться погрешности метода.

0. Понятие устойчивости.

Некоторые задачи весьма чувствительны к неточностям исходных данных. Эта чувствительность характеризуется так называемой устойчивостью. Пусть в результате решения задачи по исходному значению величины x находится значение искомой величины y. Если исходная величина имеет абсолютную погрешность Δx , которая обуславливает абсолютную погрешность решения Δy, то задача называется устойчивой по исходному параметру x, если малое приращение величины Δx приводит к малому приращению величины Δy. То есть малые погрешности в исходных данных приводят к малым погрешностям в решении.

Отсутствие устойчивости означает, что даже незначительные погрешности в исходных данных приводят к большим погрешностям в решении или даже неверному результату. О неустойчивых задачах также говорят, что они чувствительны к погрешностям исходных данных.

Задача называется поставленной корректно, если для любых значений исходных данных из некоторой области ее решение существует, единственно и устойчиво по исходным данным. Рассмотренные выше неустойчивые задачи являются некорректно поставленными. Применять для решения таких задач численные методы, как правило, нецелесообразно.

В настоящее время развиты методы решения некоторых некорректных задач. Это в основном так называемые методы регуляризации. Они основываются на замене исходной задачи корректно поставленной задачей.

Иногда при решении корректно поставленной задачи может оказаться неустойчивым метод ее решения.

При анализе точности вычислительного процесса одним из важнейших критериев является сходимость численного метода.

Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса…

Другой подход к понятию сходимости используется в методах дискретизации…

Таким образом, для получения решения задачи с необходимой точностью ее постановка должна быть корректной, а используемый численный метод должен обладать устойчивостью (корректностью) и сходимостью