Спектр дискретного сигнала

Если дискретный сигнал представлен последовательностью отсчетов {x(k)}, то его можно записать в виде   где ?(х) – дельта-функция. Если взять от последнего выражения преобразование Фурье, то надо учесть, что: - спектр дельта-функции равен единице, - задержка сигнала на х0 во времени, приводит к умножению сигнала на комплексную экспоненту. Тогда спектр дискретного сигнала Отсюда видно главное свойство спектра любого дискретного сигнала: спектр является периодическим и его период равен 2? в данном случае (он определяется круговой частотой дискретизации, составляя сигнал из дельта-функций, мы выбрали Т = 1, т.е. ?g = 2?): Обратим внимание на размерность спектральной функции дискретного сигнала: она совпадает с размерностью отсчетов. Почему так получилось? Потому что дельта-функции времени имеют размерность частоты. Рассмотрим другую задачу. Пусть значение x(k) являются отсчетами аналогового сигнала s(t), взятыми с периодом Т: x(k) = s(kT). Выясним, как в этом случае спектр дискретного сигнала связан со спектром аналогового сигнала s(?). Дискретизованный сигнал есть последовательность ?-функций, взвешенная значениями отсчетов s(kT) аналогового сигнала s(t):   Т.к. ?(t-kT) равна нулю всюду, кроме момента t = kT, можно заменить константы s(kT) на исходный непрерывный сигнал s(t): Сумма в последним выражении нам знакома – это периодичесикй сигнал, он может быть представлен рябом Фурье. Коэффициенты ряда Здесь мы учли, что интервал интегрирования равен (-Т/2, Т/2), и в него попадает только одна ?-функция, соответствующая k=0. Т.о. периодическая последовательность ?-функций представима комплексным рядом Фурье: где ?n = 2?n/T. Подставим последнее выражение в выражение для Sg и получим: Умножение сигнала на еj?nt соответствует сдвигу на ?n, поэтому спектр дискретизированного сигнала   Т.о. спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s(t). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации ?g = 2?/Т. Размерность – опять размерность сигнала (из-за 1/Т). Этот пример демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье: - периодический сигнал > дискретный спектр, - периодический спектр > дискретный сигнал. Рисунок демонстрирует способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам. Для этого необходимо его пропустить через ФНЧ с частотой среза, равной частоте дискретизации. АЧХ такого фильтра показана пунктиром. Совершенно очевидно, что точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из последнего рисунка видно, что для этого необходимо, чтобы ?g > 2?в. Спектральное представление дискретного сигнала позволяет объяснить появление ложных частот (алайзин). Пусть дискретизации подвергается гармонический сигнал с частотой ?0, большей частоты Найквиста, но меньше частоты дискретизации. Сдвинутые копии спектра, возникающие при дискретизации, создают попадающие в полосу восстановления (от нуля до частоты Найквиста) спектральные составляющие с частотой ?g – ?0. ?0 > ?N

Вопрос№26. Математические модели каналов связи.

В общем случае каналы классифицируются по характеру входного и выходного сигналов. Канал называют непрерывным (по уровням сигналов), если множество сигналов на входе и выходе является несчетным. Если множество сигналов с дискретным временем на входе и выходе является конечным (по уровням), канал называется дискретным. Канал называют полунепрепрывным, если он является дискретным по входу и непрерывным по выходу.

Радиоканалы, содержащие в своем составе радиолинию — открытое пространство, в принципе являются непрерывными каналами. Реальные радиоканалы отличаются большим разнообразием с точки зрения их свойств и характеристик. В целях упрощения задачи определения статистических характеристик сигналов, наблюдаемых на выходах каналов, во многих случаях целесообразно использовать типичные модели реальных каналов, отображающих их наиболее существенные свойства. Для задания математической модели достаточно указать ограничения, накладываемые на множество возможных входных сигналов и, что особенно существенно, вероятностные характеристики выходных колебаний.