15. Интерполирование. Понятия. Цели. Интерполяционный многочлен.
Неформализованные модели, представленные НЭХ в виде графиков или таблиц, получают методами интерполирования.
Основное требование к методу интерполяции: получение расчетной неформализованной модели адекватной натурному состоянию объекта. При этом точность соответствия не должна быть менее 0,5%, т.к. в противном случае эффекты оптимизации модели (которые обычно исчисляются 3-5%) будут меньше погрешности моделирования.
Обычно под интерполированием понимают отыскание значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующих в таблице. В настоящее время понятие интерполяции расширено до компьютерного представления графического изображения функции.
Пусть y=f(x) – некоторая функция, для которой известны либо таблица ее значений при некоторых значениях аргумента, либо задана графиком достаточно сложной формы, чтобы быть представленной в виде идеальной математической модели.
Т.е. при значениях аргумента х=х0, х1, … хn функция принимает соответственно значения y0, y1, … yn.
Тогда задача отыскания функции f(x) по заданным ее частным значениям означает, что мы должны с помощью ПЭВМ построить кривую, проходящую через точки плоскости с координатами (xn,yn).
Для быстрого нахождения значений функции часто используют метод линейного интерполирования по схеме Эйткина.
Интерполяционный многочлен.
Многочлен F(x) называется интерполяционным многочленом, а формулы для его построения – интерполяционными формулами.
Точки с координатами х0, х1, … хn называются узлами интерполяции.
Замена функции y(x) ее интерполяционным многочленом F(x) используется для двух основных целей:
1. Отыскания промежуточных значений функции, когда истинное значение функции y(x) неизвестно.
2. Отыскания промежуточных значений функции наиболее близких к оригиналу, когда аналитическое значение функции y(x) неизвестно, но является слишком сложным, а функция у(х) должна подвергаться различным математическим операциям.
3. Возможно также, что значения функции f(x) получены из экспериментальных данных, а получение других значений (промежуточных) затруднительно или невозможно по условиям эксперимента, а аналитическое выражение функции неизвестно.
Таким образом требуется определить многочлен y=F(x) степени n для которого F(xi)=f(xi) (i=0, 1, 2, … n).
Можно записать:
F(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
16. Линейное интерполирование. Формула. Достоинства и недостатки. Пример
Пусть y=f(x) – некоторая функция, для которой известны либо таблица ее значений при некоторых значениях аргумента, либо задана графиком достаточно сложной формы, чтобы быть представленной в виде идеальной математической модели.
Т.е. при значениях аргумента х=х0, х1, … хn функция принимает соответственно значения y0, y1, … yn.
Тогда задача отыскания функции f(x) по заданным ее частным значениям означает, что мы должны с помощью ПЭВМ построить кривую, проходящую через точки плоскости с координатами (xn,yn).
Для быстрого нахождения значений функции часто используют метод линейного интерполирования по схеме Эйткина.
Любое промежуточное значение функции может быть вычислено по формуле:
Схема линейного интерполирования достаточно проста, но имеет ряд недостатков:
- самый основной – слишком маленькая точность представления результата интерполирования: в некоторых диапазонах она может уменьшаться до 50%, что неприемлемо для расчетной оптимизационной модели объекта, а тем более системы в целом (т.к. ошибка представления может накапливаться),
- изломы характеристики,
- несоответствие формы представления исходному графику НЭХ.
При отыскании более сложной функции интерполяции следует понимать, что теоретически через данные точки можно провести бесчисленное множество кривых. Таким образом задача отыскания функции f(x) по конечному числу заданных ее значений слишком неопределенна: таких функций можно построить бесчисленное множество.
Поэтому необходимо ввести некоторые дополнительные требования, тогда задача отыскания функции интерполирования приобретет более определенный характер.
Сформулируем задачу интерполяции иначе:
Для заданных значений аргумента х=х0, х1, … хn и функции y0, y1, … yn найти многочлен y=F(x) степени n, удовлетворяющий условиям:
F(x0)=y0, F(x1)=y1, … F(xn)=yn.
Речь идет об отыскании аналитического выражения для многочлена, принимающего в заданных точках заданные значения.
17. Интерполяционный многочлен Лагранжа в общей форме. Порядок вывода.
Для отыскания неизвестных коэффициентов а0, а1, а2, … аn запишем систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
a0+a1x0+a2x02+a3x03+…+anx0n=у0
a0+a1x1+a2x12+a3x13+…+anx1n=у1
… … …
a0+a1xn+a2xn2+a3xn3+…+anxnn=уn
Обычно вместо прямого решения системы уравнений (что для большого количества узлов затруднительно) поступают иначе, непосредственно построив многочлен F(x), удовлетворяющий этому условию (по аналогии с линейной интерполяцией):
18. Интерполяционный многочлен Лагранжа для 2-х и 3-х точек. Примеры.
Если мы положим n=1, то получим по формуле Лагранжа выражение для прямой, проходящей через 2 точки х0,у0 и х1,у1:
Если мы положим n=2, то получим по формуле Лагранжа уравнение параболы, проходящей через 3 точки х0,у0; х1,у1 и х2,у2:
Обычно при большем количестве точек согласно формуле Лагранжа будем получать параболы с вершинами, направленными, то вниз, то вверх поочередно в каждой паре узлов.