Приложение 5.3.1

Оценка технической эффективности систем с аддитивными показателями эффективности отдельных элементов

Если некоторый –й элемент системы вносит в общий выходной эффект некоторую долю , то для систем кратковременного действия техническая эффективность определяется

,

где – вероятность состояния работоспособности - го элемента в момент времени .

Пример решения задачи

Рассматривается система кратковременного действия (например, система по сбору информации), которая имеет схему:

Выходной эффект системы представляет собой сумму выходных эффектов оконечных элементов, элементы 0–го и 1–го рангов не вносят своего вклада в общий эффект системы, а представляют собой управляющие (распределительные) органы. Тогда выходной эффект системы в любой момент времени равен суммарной информации, подаваемой пользователю. Значения коэффициентов готовности и выходные эффекты всех элементов системы представлены в таблице.

№ эл.,	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0,99	0,98	0,97	0,7	0,9	0,8	0,8	0,7	0,9	0,95	0,95
	-	-	-	10	8	8	5	5	5	10	20

Требуется найти выходной эффект системы при условии, что элементы системы независимы.

Решение

Так, –й оконечный элемент выполняет работу, если работоспособен он сам, а также соответствующие элементы 1–го и 0–го порядка, например, вероятность работоспособного состояния 7–го элемента равна . С учетом этой особенности рассчитывается эффективность

.

После подстановки численных значений, определяется выходной эффект

.

Для систем длительного действия, у которых –й элемент дает вклад в общий входной эффект системы в момент , техническая эффективность определяется

,

где – вклад -го элемента в общий выходной эффект системы при безотказной работе в интервале времени .

Пример решения задачи

Система длительного действия, предназначенная для накопления информации, состоит из трех элементов, пропускная способность каждого из которых , и , а интенсивность отказов этих элементов , и . Вероятность безотказной работы каждого элемента распределена по экспоненциальному закону.

Требуется определить с учетом отказов среднюю пропускную способность системы в момент времени и количество собранной информации при непрерывной работе системы с полной нагрузкой в течение .

Решение

Средняя пропускная способность системы для произвольного момента времени

.

После подстановки численных значений для , средняя пропускная эффективность определяется как выходной эффект

.

В данной задаче , а . Тогда

Если функция линейна, то количество собранной информации к моменту времени t можно рассчитать проще:

После приведения и к одинаковым единицам измерения и подстановки численных значений находится количество собранной информации при непрерывной работе в течение 50 ч. (как выходной эффект)

.

Приложение 5.3.2

Оценка технической эффективности многофункциональных (многомодульных) систем

Рассматривается система, состоящая из n элементов. Пусть некоторая задача может выполняться различными способами, причем при выполнении задачи –способом условный показатель эффективности системы равен . Пусть (для определенности):

.

Тогда система разбивается на подсистем таким образом, чтобы в каждую подсистему входили те элементы, которые обеспечивают выполнение задачи –м способом.

Рассматриваются два частных случая.

1. Каждый элемент может входить в состав только одной подсистемы. В этом случае вероятность того, что задача будет выполняться -м способом, равна

.

При этом – вероятность безотказной работы –й подсистемы; – вероятность отказа –подсистемы.

Для оценки эффективности функционирования системы используется формула

.

2. Подсистемы "вкладываются" друг в друга, то есть для выполнения задачи первым способом требуется, чтобы все элементы были работоспособны, вторым способом – не все элементы, а лишь часть, третьим способом – еще меньше элементов и т.д., то есть

.

Если через обозначить множество элементов системы, принадлежащих подсистеме и в то же время не принадлежащих подсистеме , тогда по принципу работы рассматриваемой системы задача будет выполняться именно –м способом при условии, что все элементы подсистемы работоспособны, а в подсистеме есть хотя

Приложение 5.3.3

Оценка технической эффективности систем с симметричной ветвящейся структурой

Рассматривается система с симметричной ветвящейся структурой. Количество элементов –го ранга, которыми управляет каждый элемент –го ранга, называется коэффициентом разветвления и обозначается . Полное количество элементов –го ранга обозначается через . Вероятность работоспособного состояния каждого элемента –го ранга в некоторый момент времени обозначается через , вероятность неработоспособного – .

При этом считается, что исполнительный (выходной) элемент системы нормально функционирует, если он сам работоспособен и работоспособны все элементы, необходимые для управления им (то есть связывающие данный выходной элемент с основным элементом системы). Предполагается, что факт работоспособного состояния есть событие, независимое от состояния остальных элементов, и отказы различных элементов происходят независимо друг от друга.

Для системы с симметричной ветвящейся структурой эффективность функционирования выражается как функция количества нормально функционирующих выходных элементов

,

где  – число нормально функционирующих выходных элементов;  – общее количество выходных элементов в системе;  – вероятность нормального функционирования ровно выходных элементов;  – показатель, характеризующий выходной эффект системы в случае нормального функционирования ровно выходных элементов.

Так как число нормально функционирующих выходных элементов есть функция времени, величина характеризует среднюю эффективность функционирования системы в некоторый момент времени.

Если эффективность системы зависит только от –числа нормально функционирующих оконечных элементов и задается в виде функции , то для оценки эффективности достаточно знать начальные моменты распределения. Эффективность функционирования системы с симметричной структурой может быть определена по формуле:

,

Приложение 5.3.4

Оценка технической эффективности систем с резервированием функций

Пусть вероятность выполнения задачи одним элементом равна при условии, что система находится в –м состоянии. Требуется определить вероятность выполнения задачи хотя бы одним из исполнительных элементов.

Такая задача может быть решена для двух основных случаев:

1. Исполнительные элементы системы выполняют задачу одновременно и независимо; для всех элементов вероятность выполнения задачи равна .

Для этого случая оценка эффективности функционирования

,

где  – вероятность того, что система находится в -м состоянии;  – условная вероятность выполнения системой задачи при –кратном резервировании функции при условии, что система находится в -м состоянии.

2. Исполнительные элементы выполняют задачу в различные моменты времени; для каждого элемента вероятность выполнения задачи равна величине , соответствующей состоянию системы в момент выполнения задачи данным элементом.

В этом случае формула оценки эффективности

.

Частный случай: система с ветвящейся структурой, у которой все оконечные элементы являются резервными по отношению к выполнению некоторой операции, причем каждый из них независимо выполняет эту операцию с вероятностью . Предполагается, что оконечные элементы выполняют операцию независимо. Если в системе нормально функционирует оконечных элементов, то коэффициент эффективности этого состояния

.

Вероятность выполнения операции системой в целом

.

где  – –ый начальный момент распределения числа нормально функционирующих исполнительных элементов;  – –я производная по с последующей подстановкой (при условии, что аппроксимирующая функция дифференцируема).

Обычно функция может быть достаточно хорошо аппроксимирована полиномом невысокой степени.

Начальные моменты могут быть найдены на основании рекуррентного соотношения для моментной производящей функции:

,

где – коэффициент разветвления –го ранга, т.е. число элементов –го ранга, которые подчинены одному элементу –го ранга.

В частности, первые два начальных момента имеют вид

,
.

Важно отметить, что возможны случаи, когда системы с разными структурами (симметричными ветвящимися) при показателе , пропорциональном числу нормально функционирующих оконечных элементов, эквивалентны по эффективности.

Пусть (это имеет место при некоторых игровых ситуациях, например, в моделях, описываемых квадратичным законом Ланчестера). Для такого случая эффективность функционирования

.

Для высоких значений вероятностей состояния работоспособности элементов (т.е. ) формулу начального момента второго порядка приближенно можно записать в виде

.

Тогда предпочтительнее система с наибольшим значением .

Приложение 5.3.5

Оценка технической эффективности систем с мультипликативным коэффициентом эффективности

Пусть –состояние системы в целом, а –соответствующее ему состояние i–й подсистемы, i=1,…,m. Для всякого выполняется условие для коэффициентов эффективности состояний

.

Тогда эффективность системы

,

где – показатель качества эффективности i–й подсистемы.

Приложение 5.3.6

Оценка технической эффективности систем с пересекающимися зонами действия

Рассматривается система из элементов, в которой с вероятностью элемент с номером находится в исправном состоянии; причем каждый –й элемент распространяет результаты своего функционирования на некоторую зону . Зоны действия элементов системы могут пересекаться, образовывая зоны , и т.д., на которые одновременно могут распространять свое влияние соответственно элементы и в первом случае, , , во втором случае и т.д.

Объединение всех зон действия элементов представляет собой область действия системы в целом:

.

Пусть некоторая зона  – зона пересечения индивидуальных зон элементов системы с множеством номеров , то есть в ней может одновременно действовать случайное число элементов, образующих некоторое множество . Тогда

.

Считается, что вклад в эффективность системы от зоны пересечения пропорционален размеру зоны и коэффициенту эффективности зоны (при условии, что работоспособно подмножество элементов ).

Учитывая возможные состояния элементов, можно вычислить математическое ожидание функции эффективности для зоны . Тогда интегральная эффективность подобных систем

.

Подобный подход позволяет получить достаточно компактные расчетные формулы для важных частных случаев.