13) Рассмотрите автономную систему - генератор Дмитриева-Кислова

Система представляет собой замкнутую в кольцо цепочку из нелинейного усилителя, RLC-фильтра и инерционного элемента.

Нелинейная характеристика имеет вид F(z) = Mzexp(-z²) исходя из этого:

x – сигнал на выходе инерционного элемента

y – сигнал на входе в инерционный элемент

z – сигнал на входе усилителя

T – время релаксации инерционного элемента

Q – добротность RLC-фильтра (классическое значение = 10)

M – задает коэффициент усиления

Н аблюдается инвариантность, т.е. (x,y,z) (-x,-y,-z) Аттрактор может быть симметричным.

П ри переходе параметра М через бифуркационное значение M=1 в системе проиходит бифуркация – потеря устойчивости в начале координат. В результате рождается пара симметрично расположенным устойчивых состояний равновесия x=Qy = z = ± , которые с ростом М удаляются от начала координат. При малых значениях параметра М, система становится неустойчивым фокусом. При увеличении происходит каскад бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу. Аттрактор схож с аттрактором Ресслера. При очень большом усилении происходит объединение аттрактора с симметричным партнером и образование единого симметричного аттрактора.

14) Опишите диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью. Нарисуйте схему осциллятора.

Нелинейный диссипативный осциллятор – это динамическая система, мгновенное состояние которой задается двумя величинами, обобщенной координатой x и скоростью . При наличии внешнего периодического воздействия в уравнениях появляются члены, содержащие явную зависимость от времени и нелинейный осциллятор превращается в неавтономную систему, которая может демонстрировать сложную динамику и переход к хаосу. Фазовое пространство такой системы трехмерно, поскольку задание переменной x и скорости однозначно определяет последующее движение лишь в том случае, если указано, к какому моменту времени или к какой фазе воздействия они относятся. Допустим, нелинейная зависимость возвращающей силы для осциллятора имеет вид f(x), а сила трения пропорциональна , то приходим к уравнению

+γ + f(x) = α*sin(ωt) (1)

γ – параметр диссипации

α и ω – амплитуда и частота воздействия.

Осциллятор Дуффинга относится к системе 1.

+ + x³= Asin(Ωt)

А и Ω – амплитуда и частота внешнего воздействия. При малых амплитудах внешнего воздействия, частота колебаний совпадает с частотой внешнего воздействия, а при увеличении этого параметра можно наблюдать более сложное динамическое поведение, включая переход к хаосу. Так как функция f(x) – нечетная, то имеется инвариантность и реализуются одна из двух возможностей:

1 – аттрактор обладает симметрией относительно x или

2 - аттрактор не обладает симметрией, но имеет симметричного партнера, т.е. в зависимости от начальных условий в системе будет возникать два разных режима, переходящий один в другой при преобразовании симметрии. При малых амплитудах единственным аттрактором является замкнутая кривая – симметричный цикл, причем период колебаний равен периоду внешнего воздействия. При больших амплитудах цикл становится неустойчивым и возникает два цикла. Далее система начинает проявлять хаотический характер. При огромных амплитудах воздействия аттракторы сливаются в один симметричный хаотический аттрактор.