12) Проанализируйте одномерные отображения систем. Приведите примеры.

О дномерное отображение – это, прежде всего, система, состояние которой зависит от одной-единственной переменной x, т.е. фазовое пространство одномерно, а оператор эволюции задается рекуррентным отображением вида x_n+1 = f(x_n), где n – дискретное время.

Существуют различные одномерные отображения, такие как:

• Отображение «Зуб пилы». Для данного отображения, оператор эволюции задан следующим правилом:

X_n+1=2x_n

Необходимо выбрать начальное условие. Например: x₀=0,010110100010…

С каждым шагом эволюции, последовательность 0 и 1 будет сдвигаться влево на одну позицию. Этот сдвиг называется сдвигом Бернулли. Хаос возникает тогда, когда в качестве начального условия берется случайная последовательность.

Логистическое отображение.

Математическая формулировка отображения:

где: принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n-ом году, а обозначает начальную численность (в год номер 0)

- положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции. Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

1. размножение популяции, со скоростью, пропорциональной ее численности в момент, когда численность мала.

2. конкуренцию (смертность при высокой плотности) за жизненные ресурсы, при которой скорость размножения падает из-за ограничения на "максимальную емкость" среды, в которой обитает популяция.

При изменении значения параметра в системе наблюдается следующее поведение:

• -популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.

• и - численность популяции быстро выйдет на стационарное значение, независимо от начальных условий .

• (приблизительно 3.45) - численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от .

• (приблизительно) - то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.

• , численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее.

• ,начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.

Большинство значений, превышающих 3,57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные "окна" значений , при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют "окнами периодичности".

Отображение «Тент»Отображение «тент» получило название за форму своего графика, напоминающего палатку – тент. На рис.2.4б показана модификация этого отображения, «косой тент». Его можно определить формулой:

Где - положительный параметра, меньший 1. Частный случай симметричного тента получается при .

К ак и логистического отображения, можно легко построить траекторию, посещающую левую и правую ветвь графика в любой произвольной наперед заданной последовательности.