10. Опишите динамику системы Лоренца.

В 1963 году в вышла статья Н.Лоренца “Детерминированное непериодическое течение”. В этой работе из системы уравнений Навье-Стокса впервые была получена нелинейная автономная система., Система Лоренца возникла в задаче о моделировании конвективного течения жидкости, подогреваемой снизу. Такое течение описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Система (1) получается из нее проектированием на специальное трехмерное подпространство.

(1)  Здесь x -отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z — за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r — нормированное число Рэлея, σ — число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки. Обычно исследования системы Лоренца проводят при σ= 10, r = 28 и b = 8/3(классические значения параметров).

Рассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r.

r<1 — аттрактором является начало координат, других устойчивых точек нет.

1<r<13,927 — траектории спирально приближаются (это соответствует наличию затухающих колебаний) к двум точкам, положение которых определяется формулами:

Эти точки определяют состояния стационарного режима конвекции, когда в слое формируется структура из вращающихся валов жидкости.

r≈13,927 — если траектория выходит из начала координат, то, совершив полный оборот вокруг одной из устойчивых точек, она вернется обратно в начальную точку — возникают две гомоклинические петли. Понятие гомоклинической траекторииозначает, что она выходит и приходит в одно и то же положение равновесия.

r>13,927 — в зависимости от направления траектория приходит в одну из двух устойчивых точек. Гомоклинические петли перерождаются в неустойчивые предельные циклы, также возникает семейство сложно устроенных траекторий, не являющееся аттрактором, а скорее наоборот, отталкивающее от себя траектории. Иногда по аналогии эта структура называется «странным репеллером»

r≈24,06 — траектории теперь ведут не к устойчивым точкам, а асимптотически приближаются к неустойчивым предельным циклам — возникает собственно аттрактор Лоренца. Однако обе устойчивые точки сохраняются вплоть до значений r≈24,74.При больших значениях параметра траектория претерпевает серьезные изменения. При очень больших r система переходит в режим автоколебаний, при этом, если уменьшать параметр, будет наблюдаться переход к хаосу через последовательность удвоений периода колебаний.

11) Проанализируйте двумерные отображения, сохраняющие площадь. Приведите примеры.

Двумерное отображение, описывает дина­мику в терминах переменных х и у. Мгновенное состояние на­шей системы определяется заданием этих двух величин, причем обе они необходимы для того, чтобы иметь возможность находить последующие состояния по известному начальному. Двумерное отображение рассматривается на плоскости, то есть в двумерном пространстве. Примерами двумерного отображения являются: «Отображение Пекаря», «Кот Арнольда».

Отображение пекаря является консервативной системой или, используя терминологию, специфическую для двумерных отобра­жений, это отображение, сохраняющее площадь. Если взять некоторую область на плоскости (х, у) и подвергнуть каждую ее точку действию отображения пекаря, то она перейдет в некото­рую другую по форме область, но площадь новой области останется той же самой. Формальное правило для проверки этого свойства состоит в том, что должен равняться единице определитель, по­строенный из производных, — якобиан. Для отображения пекаря имеем:

Возьмем тесто, размером 1х1, и разрежем его пополам. Каждый раз проделывая эту операцию, мы придем к тому, что наше тесто станет сплошным, но если увеличить некоторый участок, то можно увидеть, что тесто состоит из равных чередующихся полос темного и светлого оттенка. Система консервативна, поэтому площадь остается неизменной. Изначально, S_нач=1*1=1. J = 1 1=1.

Другим примером двумерного отображения является Кот Арнольда.

Рассмотрим двумерное отображение:

которое называют отображение кота Арнольда.Название объясняется тем, что предложивший это отображение В.И.Арнольд для иллюстрации его действия использовал картинку в виде кота (см. рис.). Геометрически, первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат а второй - в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (операция взятия модуля). Благодаря периодичности по x и p, фазовое пространство отображения можно мыслить как поверхность тора. Движение частицы консервативно, т.е. мы имеем дело с консервативной системой. Математически это выражается в том, что детерминант (якобиан) матрицы М, задающей отображение кота Арнольда, равен 1, и оно сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота:

Я кобиан матрицы М= равен: 2-1=1.