33.Отображение Заславского.

отображение Заславского.

В этой системе могут реализоваться автоколебания, следовательно имеется предельный цикл. Пусть на эту систему действуют периодические импульсные толчки. Когда очередной толчок выводит систему из установившегося режима, амплитуда колебаний постпенно возвращается к предельному циклу. Если частота колебаний зависит от амплитуды, то этот процесс релаксации сопровождается накоплением добавки к фазе.

Где r – отклонение амплитуды от предельного цикла, γ-коэффициент затухания возмущения амплитуды, характеризующий скорость релаксации к предельному циклу, φ – фаза, ω – частота колебаний на предельном цикле.

34.Бифуркации в модели Лоренца.

Если поддерживать постоянными параметры σ=10 и b=8/3 и увеличивать, начиная с нуля, параметр r (в модели МАТЛАБ r меняется от 0 до 15), то

Листинг 1

function f=sys_lorenz(t,y);

global b r s;

f=[s.*(y(2)-y(1));r*y(1)-y(2)-y(1).*y(3); -b.*y(3)+y(1).*y(2)];

Листинг 2

global b r s;

b=8/3;

s=10;

x0=[0.3 0.5 0.2];

for r=0:15;

[T,Y]=ode45('sys_lorenz',[0 15],x0);

plot3(Y(:,3),Y(:,1),Y(:,2));

hold on

end

При r<1 система Лоренца имеет устойчивую неподвижную точку в начале координат, тоску О. Это единственный аттрактор системы. При r>1, состояние равновесия О становится неустойчивым – одно из трёх собственных чисел оказывается положительным, тогда как два других остаются отрицательными. Если ввести малое возмущение, то изображающая точка будет уходить от состояния равновесия вдоль некоторой специальной траектории, которую называют неустойчивой сепаратрисой или неустойчивым многообразием. Имеется две ветви неустойчивой сепаратрисы, идущие от состояния равновесия О в разные стороны. Точка О имеет также устойчивое многообразие.

35.Хаос в реалистичных моделях динамических систем.

Реалистические модели динамических систем

Модели с дискретным временем

Искусственно сконструированные дифференциальные уравнения

Нелинейные осцилляторы под периодическим внешним воздействием

Автономные системы – электронные генераторы

1.Отображение Эно

2.Отображение Икеды

3.Отображение Заславского

1.Генератор Кияшко-Пиковского-Рабиновича

2.Генратор с инерционной нелинейностью Анищенко-Астахова

3.Генератор Дмитриева Кислова

4.Схема Чуа

1.Система Ресслера

2.Системы Спротта

1. Осциллятор Дуфинга

36.Рассмотрите модели с дисретным временем.

Пусть вдоль оси x может двигаться частица массы m , причем ее движению препятствует сила трения, пропорциональная скорости, f= - kU. Пусть далее на частицу действуют с периодом Т импульсные толчки, интенсивность которых зависит от координаты частицы в момент толчка, т.е. передаваемый импульс дается функцией Р(x). Если перед n-м толчком координата частицы была X_n, а скорость U_n , то сразу после толчка скорость составит и далее будет уменьшаться по экспоненциальному закону , .

Если мы проинтегрируем данное выражение при следующем шаге в пределах периода и введём новые переменные, то получим:

Где:

Предположим, что пространственное распределение воздействующей на частицу импульсной силы таково, что f(x)=1-ax², тогда переписанное отображение будут называть отображение Эно.

В ычислим якобиан отображения Эно:

Если b<1 то отображение Эно представляет диссипативную систему. Затем если b стремится к 0 оно сводиться к логистическому отображению, если b стремится к 1, то это отображение сохранит площадь, т.е. консервативная система.

Странный аттрактор при b= - 0.3, a=1.4

Кольцевой резонатор с нелинейным элементом.

Р езонатор возбуждается лучом лазера через полупрозрачное зеркало. Колебательные режимы реализуются благодаря интерференции монохроматического сигнала на входе и модулированного по фазе сигнала, прошедшего через нелинейную среду. В уравнении пренебрегается время релаксации отклика среды на изменение интенсивности света. А- параметр интенсивности света от лазера, В – параметр диссипации поля в резонаторе. Величина, фигурирующая в показателе экспоненты, соответствует набегу фазы при обходе резонатора: параметр φ характеризует отстройку частоты излучения лазера от собственной моды резонатора, а добавка обусловлена нелинейным сдвигом фазы из-за зависимости показателя преломления от амплитуды поля.

Вычисление якобиана отображения Икеды приводит к результату J=B­², так что при В<1 эта система диссипативна.

отображение Заславского.

В этой системе могут реализоваться автоколебания, следовательно имеется предельный цикл. Пусть на эту систему действуют периодические импульсные толчки. Когда очередной толчок выводит систему из установившегося режима, амплитуда колебаний постпенно возвращается к предельному циклу. Если частота колебаний зависит от амплитуды, то этот процесс релаксации сопровождается накоплением добавки к фазе.

Где r – отклонение амплитуды от предельного цикла, γ-коэффициент затухания возмущения амплитуды, характеризующий скорость релаксации к предельному циклу, φ – фаза, ω – частота колебаний на предельном цикле.