28. Оцените динамику отображения Эно. Покажите процесс возникновения хаотических режимов

Пусть вдоль оси x может двигаться частица массы m , причем ее движению препятствует сила трения, пропорциональная скорости, f= - kU. Пусть далее на частицу действуют с периодом Т импульсные толчки, интенсивность которых зависит от координаты частицы в момент толчка, т.е. передаваемый импульс дается функцией Р(x). Если перед n-м толчком координата частицы была X_n, а скорость U_n , то сразу после толчка скорость составит и далее будет уменьшаться по экспоненциальному закону , .

Если мы проинтегрируем данное выражение при следующем шаге в пределах периода и введём новые переменные, то получим:

Где:

Предположим, что пространственное распределение воздействующей на частицу импульсной силы таково, что f(x)=1-ax², тогда переписанное отображение будут называть отображение Эно.

В ычислим якобиан отображения Эно:

Если b<1 то отображение Эно представляет диссипативную систему. Затем если b стремится к 0 оно сводиться к логистическому отображению, если b стремится к 1, то это отображение сохранит площадь, т.е. консервативная система.

Странный аттрактор при b= - 0.3, a=1.4

29. Оцените динамику отображения Икеды.

Кольцевой резонатор с нелинейным элементом.

Р езонатор возбуждается лучом лазера через полупрозрачное зеркало. Колебательные режимы реализуются благодаря интерференции монохроматического сигнала на входе и модулированного по фазе сигнала, прошедшего через нелинейную среду. В уравнении пренебрегается время релаксации отклика среды на изменение интенсивности света. А- параметр интенсивности света от лазера, В – параметр диссипации поля в резонаторе. Величина, фигурирующая в показателе экспоненты, соответствует набегу фазы при обходе резонатора: параметр φ характеризует отстройку частоты излучения лазера от собственной моды резонатора, а добавка обусловлена нелинейным сдвигом фазы из-за зависимости показателя преломления от амплитуды поля.

Вычисление якобиана отображения Икеды приводит к результату J=B­², так что при В<1 эта система диссипативна.

30.Определите неподвижные точки системы уравнений Лоренца.

Неподвижные точки. Найдем неподвижные точки системы уравнений Лоренца. Это состояния, не меняющиеся во времени, т. е. производные динамических переменных по времени надо приравнять нулю. Следовательно, правые части уравнений тоже должны обращаться в нуль. Это дает три алгебраических уравне­ния для трех неизвестных:

Из первого уравнения имеем у = х, тогда второе переписывается в виде х (г — 1 — z) = 0 и видно, что есть две возможности х = 0и z =z-1. Из третьего уравнения получаем для первого случая z = 0, а для второго , так что это решение существует лишь при r>1. Таким образом, при r<1 имеется одно состояние равновесия, расположенное в начале координат, а при r>1 – три состояния равновесия:

С точки зрения физической интерпретации, в задаче о конвек­ции первая неподвижная точка отвечает состоянию равновесия и отсутствию конвекционных потоков. Водяное колесо неподвижно, лазер не генерирует. Второе и третье решения соответствуют на­личию конвекционного потока — вращению жидкости, соответ­ственно, против или по часовой стрелке. Водяное колесо враща­ется в одну или другую сторону с постоянной скоростью. Лазер ге­нерирует сигнал постоянной, не зависящей от времени интенсив­ности. Заметим, что вторая и третья неподвижные точки уравне­ний Лоренца могут служить примером пары симметричных парт­неров — они переходят друг в друга при одновременном изменении знаков x и y.