21.Опишите Логистическое отображение. Покажите процесс возникновения хаоса в данной динамической системе.
Математическая формулировка отображения:
где:
принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в n-ом году, а обозначает начальную численность (в год номер 0)
- положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.
Это нелинейное отображение описывает два эффекта:
размножение популяции, со скоростью, пропорциональной ее численности в момент, когда численность мала.
конкуренцию (смертность при высокой плотности) за жизненные ресурсы, при которой скорость размножения падает из-за ограничения на "максимальную емкость" среды, в которой обитает популяция.
При изменении значения параметра в системе наблюдается следующее поведение:
-популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
и - численность популяции быстро выйдет на стационарное значение, независимо от начальных условий .
(приблизительно 3.45) - численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями, причем их величина не зависит от .
(приблизительно) - то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее.
,начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
Большинство значений, превышающих 3,57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные "окна" значений , при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют "окнами периодичности".
22.Опишите одномерное отображение "тент". Покажите процесс возникновения хаоса в данной динамической системе.
Отображение «тент» получило название за форму своего графика, напоминающего палатку – тент. На рис.2.4б показана модификация этого отображения, «косой тент». Его можно определить формулой:
Где - положительный параметра, меньший 1. Частный случай симметричного тента получается при .
К ак и логистического отображения, можно легко построить траекторию, посещающую левую и правую ветвь графика в любой произвольной наперед заданной последовательности.
23.Опишите двумерное отображение "Кот Арнольда". Вычислите якобиан системы
Рассмотрим двумерное отображение:
которое называют отображение кота Арнольда.Название объясняется тем, что предложивший это отображение В.И.Арнольд для иллюстрации его действия использовал картинку в виде кота (см. рис.). Геометрически, первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат а второй - в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (операция взятия модуля). Благодаря периодичности по x и p, фазовое пространство отображения можно мыслить как поверхность тора. Движение частицы консервативно, т.е. мы имеем дело с консервативной системой. Математически это выражается в том, что детерминант (якобиан) матрицы М, задающей отображение кота Арнольда, равен 1, и оно сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота:
Я кобиан матрицы М= равен: 2-1=1.
Можно рассмотреть более широкий класс отображений на торе, которые определяются матрицами с целочисленными элементами
,
подчиненными условию ab-cd=1. В зависимости от собственных чисел матрицы 1, 2, отображения указанного вида относятся к одному из трех типов:
гиперболический, если одно из собственных чисел больше, а второе меньше 1,
параболический, если 1=2=1,
эллиптический, если 1 и 2 комплексно-сопряженные.
Отображение кота Арнольда принадлежит к гиперболическому типу, поскольку его собственные числа 1=(3+√5)/2 и 2=(3-√5)/2.
При итерациях гиперболического отображения изображение кота вытягивается. Поэтому картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся черных и белых полосок, в которые превратились, соответственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, и дополнение этого множества. Выражаясь обыденным языком, "черная" и "белая" жидкости оказываются хорошо перемешанными.