Предгильбертовые пространства, гильбертовые пространства. Ряды Фурье
Предгильбертово пространство — линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.
Определение
Пара
называется
предгильбертовым пространством, если
— линейное пространство, а
— определённое на
скалярное
произведение. (Обычно подразумевается
скалярное произведение в обычном смысле,
то есть положительно определённое.)
Норма
Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:
.
В
случаях, когда скалярное произведение
не является строго положительно
определённым, а именно выбрано так, что
может быть нулем при ненулевых
(чего бывает
трудно избежать в некоторых бесконечномерных
случаях), то указанное выше выражение
даёт не норму, а только
полунорму.
Свойства
Теорема
фон Неймана — Йордмана:
если в полунормированном пространстве
справедлив
закон
параллелограмма,
то
— предгильбертово, то есть существует
(и притом единственное) скалярное
произведение
такое, что
Гильбертово пространство — обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечную размерность. Названо в честь Давида Гильберта.
Важнейшим объектом исследования в гильбертовом пространстве являются линейные операторы. Само понятие гильбертова пространства сформировалось в работах Гильберта и Шмидта по теории интегральных уравнений, а абстрактное определение было дано в работах фон Неймана, Риса и Стоуна по теории эрмитовых операторов.
Определение
Гильбертово
пространство —
линейное
(векторное) пространство
(над полем
вещественных или комплексных чисел), в
котором для любых двух элементов
пространства
и
определено
скалярное
произведение
и
полное
относительно
порождённой скалярным произведением
метрики
.
Если условие полноты пространства не
выполнено, то говорят о
предгильбертовом
пространстве.
Однако, большинство из известных
(используемых) пространств либо являются
полными, либо могут быть пополнены.
Таким
образом, гильбертово пространство есть
банахово
пространство
(полное
нормированное пространство),
норма
которого
порождена положительно определённым
скалярным
произведением
и определяется
как
Норма в произвольном нормированном пространстве может порождаться некоторым скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполнено следующее равенство (тождество) параллелограмма:
Если удовлетворяющее тождеству параллелограмма банахово пространство является вещественным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
Если это пространство является комплексным, то отвечающее его норме скалярное произведение задаётся равенством
(поляризационное
тождество).
Свойства
– Теорема
Риса — Фреше:
для любой ортонормированной системы
векторов
в
гильбертовом пространстве
и
числовой последовательности
,
такой что
,
в
существует
такой элемент
,
что
и
.
– Гильбертовы пространства порождают строго нормированные пространства.
Ряд
Фурье
— представление произвольной функции
с периодом
в виде ряда
Этот ряд может быть также записан в виде
где
— амплитуда
-го
гармонического колебания,
— круговая
частота гармонического колебания,
— начальная
фаза
-го
колебания,
—
-я
комплексная амплитуда
В более общем виде рядом Фурье элемента гильбертова пространства называется разложение этого элемента по ортогональному базису. Существует множество систем ортогональных функций: Уолша, Лагера, Котельникова и др.
Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при дифференцировании, интегрировании, сдвиге функции по аргументу и свёртке функций.