Линейные пространства, размерность пространства. Бесконечно мерные пространства.

Векторное (линейное) пространство — это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр. Введённые операции подчинены восьми аксиомам. Скаляром же может являться элемент вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, которые используются, к примеру, для демонстрации физических сил. При этом следует отметить, что вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть представлен в качестве направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы.

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Методология данного раздела математики позволила подробно изучить такого рода структуру через призму одной из главных её характеристик — размерности векторного пространства. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к геометрической частности, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств, где в качестве векторов выступают функции. Некоторые проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Решение таких вопросов достигается при рассмотрении векторных пространств с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет обратиться к проблемам близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Кроме векторов, линейная алгебра изучает также тензоры более высокого ранга (скаляр считается тензором ранга 0, вектор — тензором ранга 1).

Первые труды, предвосхитившие открытие векторных пространств, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение

Линейное, или векторное пространство над полем — это упорядоченная четвёрка , где

— непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;

— (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;

— операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

— операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу поля и каждому элементу множества единственный элемент множества , обозначаемый ;

причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. , для любых (коммутативность сложения);

2. , для любых (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения).

5. (ассоциативность умножения на скаляр);

6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).

7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами.

В качестве дополнительной (девятой) аксиомы векторного пространства иногда используют следующую: размерность пространства равна некоторому натуральному числу (если существует максимальная линейно независимая система векторов данного пространства или, что то же самое, существует конечная порождающая система векторов данного пространства), и тогда такое пространство называют конечномерным, или говорят, что пространство бесконечномерное (если не существует конечной порождающей системы векторов данного пространства). В соответствии с этим, теория линейных (векторных) пространств разделяется на две различные части: теорию конечномерных пространств, в которой существенным оказывается алгебраический аспект, и теорию бесконечномерных пространств, где главным оказывается аспект анализа — вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. для любого .

4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. для любого .

6. для любых и .

7. для любого .

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

нормальное T₁- пространство X(см. Нормальное пространство).такое, что ни для какого не выполняется неравенство и для любого найдется такое конечное открытое покрытие пространства , что любое вписанное в конечное открытое покрытие этого пространства будет иметь кратность , Примерами Б. <п.могут служить гильбертов кирпич и тихоновский куб .Большинство встречающихся в функциональном анализе пространств также бесконечномерно.

Нормальное -пространство наз. бесконечномерным в смысле большой (соответственно, малой)индуктивной размерности, если неравенство (соответственно ) не выполняется ни для какого Если есть Б. <п., то оно бесконечномерно в смысле большой индуктивной размерности. Если, кроме того, X есть бикомпакт, то он бесконечномерен также и в смысле малой индуктивной размерности. Бесконечномерность метрич. пространства равносильна его бесконечномерности в смысле большой индуктивной размерности. Существуют конечномерные бикомпакты, бесконечномерные в смысле малой (следовательно и большой) индуктивной размерности. Существует ли конечномерный в смысле малой индуктивной размерности и бесконечномерный в смысле большой индуктивной размерности бикомпакт (так же как и метрич. пространство),- неизвестно (1977).

Одним из наиболее естественных подходов к изуче-нию Б. <п. является введение малой трансфинитной размерности и большой трансфинитной размерности . Этот подход заключается в распространении определений малой и большой индуктивных размерностей на бесконечные порядковые числа. Не для всякого Б. п. X определены трансфинитные размерности и . Напр., обе эти размерности не определены для гильбертова кирпича. Для пространства , распадающегося в дискретную сумму -мерных кубов , малая трансфинитная размерность не определена.

Если для нормального пространства определена трансфинитная размерность (соответственно Ind X), то она равна порядковому числу, мощность к-рого не превосходит веса (соответственно большого веса ) пространства X. В частности, если пространство X обладает счетной базой, то , а если Х - компакт, то и . Для метрич. пространств также . Если , то существуют компакты и , для к-рых

Если трансфинитная размерность определена, то определена трансфинитная размерность и . Построены компакты, для к-рых трансфинитная размерность определена и

Из определенности трансфинитной размерности (соответственно ) пространства вытекает определенность трансфинитной размерности ind X(соответственно ) для любого(соответственно любого замкнутого) множества и выполняется неравенство (соответственно ).

Для максимального бикомпактного расширения нормального пространства выполняется равенство . Нормальное пространство веса и трансфинитной размерности обладает бикомпактным расширением веса и размерности . Существует пространство L со счетной базой и размерности , у к-рого никакое бикомпактное со счетной базой расширение не имеет размерности . Метризуемое пространство R трансфинитной размерности обладает метрикой, пополнение по которой имеет размерность . Метризуемое со счетной базой пространство R трансфинитной размерности обладает метрикой, пополнение по которой имеет размерность

Класс пространств, для к-рых определена большая или малая трансфинитная размерность, тесно связан с классом счетномерных пространств:если полное мет-рич. пространство счетномерно, то для него определена малая трансфинитная размерность; если для пространства со счетной базой определена малая трансфинитная размерность, то оно счетномерно; если для метрич. пространства определена большая трансфинитная размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно счетномерно; для счетномерного компакта определена большая трансфинитная размерность. Пространство счетномерно и бесконечномерно. Гильбертов кирпич не счетномерен.

Счетномерность метрич. пространства R эквивалентна любому из следующих свойств: а) существует конечнократное (но, вообще говоря, не к-кратное ни для какого ) непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство ; б) существует счетнократное непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство R.

Теоремы о представимости n-мерного метрич. пространства в виде суммы нульмерных слагаемых ив виде образа нульмерного метрич. пространства при непрерывном замкнутом и -кратном отображении указывают на естественность рассмотрения класса счет-номерных (метрических) пространств и на его близость к классу конечномерных пространств. Как и в конечномерном случае, в классе счетномерныхметрич. пространств веса существует универсальное в смысле гомеоморфного вложения пространство.

Если нормальное пространство представлено в виде конечной или счетной суммы своих счетномерных подпространств, то оно счетномерно. Подпространство счет-номерного совершенно нормального пространства счетномерно.

Взаимоотношения между счетномерными и не счетно-мерными пространствами описывает следующее утверждение: если отображение метрич. пространств R и S непрерывно и замкнуто, пространство R счетно-мерно, а пространство S не счетномерно, то множество также несчетномерно. Помимо счетномерных пространств, естественным расширением класса конечно мерных пространств является класс слабо счетномерных пространств. Если рассматривать только метризуемые пространства, то .слабо счетномерные пространства занимают промежуточное положение междуконечномерными и счетвомерными пространствами. При этом существуют счетномерные не слабосчетномерные компакты, а пространство И I ⁿ слабо счетномерно и бесконечномерно. Замкнутое подпространство слабо счетномерного пространства слабо счетномерно. Нормальное пространство слабосчетно-мерно, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы своих слабо счетномерных замкнутых подмножеств.

В классах нормальных слабо счетномерных и метрических слабо счетномерных пространств существуют универсальные в смысле гомеоморфного вложения пространства. В случае пространств со счетной базойтаким пространством будет подпространство гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь конечное число координат к-рых отлично от нуля. Пространство не имеет слабо счетномерных бикомпактных расширений.

Все рассмотренные выше классы Б. <п. "не очень бесконечномерны", если их сравнивать, напр., с гильбертовым кирпичом. Задача отделения "не очень бесконечномерных" пространств от "очень бесконечномерных" была решена П. С. Александровым и Ю. М. Смирновым посредством введения классов А- и S-слабо бесконечномерных и А- и S-сильно бесконечномерных нормальных пространств. Любое конечномерное пространство S- слабо бесконечномерно, а любое S-слабо Б. п. также А-слабобесконечномерно. Пространство является А - слабо бесконечномерным, но S-сильно бесконечномерным.

В случае бикомпактов определения А - и S- слабой (сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому А-слабо (сильно) бесконечномерные бикомпакты наз. просто слабо (сильно) бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен. Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномерные компакты.

Замкнутое, подпространство слабо Б. п. является ' слабо бесконечномерным. Нормальное .пространство, являющееся суммой конечного числа своих замкнутых S-слабо бесконечномерных множеств, само S-слабо бесконечномерно. Паракомпакт, являющийся суммой конечнойили счетной системы своих замкнутых А-слабо бесконечномерных множеств, сам А-слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное пространство, являющееся суммой конечной или счетной системы своих А-слабо бесконечномерных множеств, само A-слабо бесконечномерно.

Слабо счетномерный паракомпакт является А-слабо бесконечномерным. Наследственно нормальное счет-номерное пространство является А-слабо бесконечномерным. Любой ли слабо бесконечномерный компактсчетномерен - неизвестно (1977).

Изучение любых S-слабо бесконечномерных метри-зуемых пространств следующим образом сводится к компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое пространство R является S -слабобесконечномерным, когда его можно так представить в виде суммы слабо бесконечномерного компакта иконечномерных открытых множеств что для любой дискретной последовательности точек

существует (зависящее от последовательности) множество , содержащее все точки , начиная с нек-рой.

Другую возможность изучать бесконечномерные бикомпакты вместо любых S-слабо Б. <п. дают следующие утверждения: максимальное бикомпактное расширение S-слабо Б. <п.- слабо бесконечномерно; любое нормальное S-слабо бесконечномерное пространство веса обладает слабо бесконечномерным бикомпактным расширением веса . Все бикомпактные расширения А-слабо Б. <п. сильно бесконечномерны.

Бикомпакт сильно бесконечномерен тогда и только тогда, когда имеется такое непрерывное отображение что для любого множества

(гомеоморфного n-мерному кубу) ограничение отображения на прообраз является существенным отображением.

Существует бесконечномерный компакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно,или бесконечномерно. Более того, любой сильно бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, любоенепустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или сильно бесконечномерно. В любом сильнобесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное канторово многообразие (в смысле П. С.Александрова).

Все сенарабельные банаховы пространства гомео-морфны между собой, А-сильно бесконечномерны и го-меоморфны произведению счетной системы прямых.