Линейные функционально-обобщенные функции

Обобщённая фу́нкция или распределе́ние — математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах.

Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д.

С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в малых окрестностях данной точки. Таким образом, техника обобщённых функций служит удобным и адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Математика начала ХХ века не имела нужных строгих формализмов для оперирования с новым классом зависимостей величин, открытых в физике.

Важный вклад в формирование нового математического подхода к понятию функции в физике принадлежит Η. Μ. Гюнтеру, который предлагал рассматривать вместо точечных характеристик типа плотности соответствующие функции множеств еще в 1916 году и пытался переосмылить на этой основе понятие решения уравнения математической физики. Однако Н.М. Гюнтер не связывал эти идеи с нарождающимся функциональным анализом и квантовой механикой. Фундаментальные новые идеи, основанные на использовании пространств финитных функций и принципиально новом понятии обобщеннной производной принадлежат С. Л. Соболеву. К аналогичным идеям самостоятельно через десять лет пришел выдающийся французский математик Л. Шварц, привлекший уже возникшую к тому времени теорию локально выпуклых пространств и построивший преобразование Фурье обобщенных функций. Соболев и Шварц по праву делят славу создателей теории распределений — обобщенных функций. Обобщённые функции эмпирически использовались Дираком в его исследованиях по квантовой механике.

В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками и физиками-теоретиками, главным образом в связи с потребностями теоретической и математической физики и теории дифференциальных уравнений

Определение

Формально обобщённая функция определяется как линейный непрерывный функционал над тем или иным векторным пространством достаточно «хороших функций» (так называемых основных функций): ^[7].

Условие линейности: .

Условие непрерывности: если , то .

Важным примером основного пространства является пространство — совокупность финитных -функций на , снабжённая естественной для неё топологией: последовательность функций из сходится, если их носители принадлежат фиксированному шару и в нём они -сходятся.

Сопряжённое пространство к есть пространство обобщённых функций .

Сходимость последовательности обобщённых функций из определяется как слабая сходимость функционалов из , то есть , в означает, что , для любой .

Для того, чтобы линейный функционал на был обобщённой функцией, то есть , необходимо и достаточно, чтобы для любого ограниченного открытого множества существовали числа и такие, что

для всех с носителем в .

Если в неравенстве число можно выбрать не зависящим от , то обобщённая функция имеет конечный порядок; наименьшее такое называется порядком .

Простейшими примерами обобщённых функций являются функционалы, порождаемые локально суммируемыми функциями

Обобщённые функции, определяемые локально суммируемыми функциями по этой формуле, называются регулярными; остальные обобщённые функции называются сингулярными.

Обобщённые функции вообще говоря, не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее можно говорить о совпадении обобщённой функции с локально суммируемой функцией на открытом множестве: обобщённая функция из совпадает в с локально суммируемой в функцией , если

для всех с носителем в . В частности, при получается определение того, что обобщённая функция обращается в нуль внутри .

Множество точек, ни в какой окрестности которых обобщённая функция не обращается в ноль, называется носителем обобщённой функции и обозначается . Если компактен, то обобщённая функция называется финитной.

Свойства

– Пространство — полное: если последовательность обобщённых функций из такова, что для любой функции числовая последовательность сходится, то функционал

принадлежит .

– Всякая из есть слабый предел функций из . Это свойство иногда берётся в качестве исходного для определения обобщённой функции, из полноты пространства обобщённых функций это приводит к эквивалентному определению.

– Любая обобщённая функция из бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле).

– Дифференцирование не увеличивает носителя обобщённой функции.

– Для обобщённых функций справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения , где .

– Всякая обобщённая функция из есть некоторая частная производная от непрерывной функции в .

– Для любой обобщённой функции порядка с носителем в точке 0 существует единственное представление в виде линейной комбинации частных производных в нуле, с порядком меньшим либо равным .