Метрические пространства

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в своей работе Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1-74, в связи с рассмотрением функциональных пространств.

В математике метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов

Метрическое пространство M есть множество точек с функцией расстояния (также называется метрикой) (где обозначает множество вещественных чисел). Для любых точек x,y, z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1.d(x, y) ≥ 0

2.d(x, y) = 0 x = y.

3.d(x, y) = d(y, x) (симметрия)

4.d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (неравенство треугольника).

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x. Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y, а потом от y до z.

Свойства

– Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

– Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.

– Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база(но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).

– Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

Связанные определения

– Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится к некоторому элементу этого пространства.

– Метрика d на M называется внутренней, если любые две точки x и y в M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x, y).

– Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, т.е. множеств следующего типа:

B(x; r) = {y в M : d(x,y) < r},

где x есть точка в M и r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество является открытым, если для любой точки найдётся положительное число , такое, что множество точек на расстоянии меньше от принадлежит .

– Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.

– Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.

– Расстояние d(x,S) от точки x до подмножества S в M определяется по формуле:

d(x,S) = inf{d(x,s) : s ∈ S}

Тогда d(x, S) = 0, только если x принадлежит замыканию S.

– Иногда рассматривают метрики со значениями [0,∞]. Для любой такой метрики можно рассмотреть конечную метрику d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) или d''(x, y) = min(1, d(x, y))). Эти метрические пространства имеют одну и ту же топологию.

Примеры

– Дискретная метрика: d(x,y) = 0, если x=y, и d(x,y) = 1 во всех остальных случаях.

– Вещественные числа с функцией расстояния d(x, y) = |y — x| и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.

– Манхеттенская, или городская метрика: координатная плоскость, на которой расстояние определено как сумма расстояний между координатами. Более общий пример: любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния d(x, y) = ||y — x||, в случае конечной размерности это называется пространством Минковского (не надо путать с другим пространством Минковского).

– Так называемая Французская железнодорожная метрика является примером, который нередко приводят в качестве примера метрики, не порожденной нормой.

– Любое связное риманово многообразие M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

– Множество вершин любого связного графа G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины.

– Множество компактных подмножеств K(M) любого метрического пространства M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорффа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D(X, Y) = inf{r : для всех x в X существует y в Y с d(x, y) < r и для любого y в Y существует x в Xтакое, что d(x, y) < r)}.

– Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорффа.