Нормированное пространство, пространство Банаха

Нормированным векторным пространством называется векторное пространство с заданной на нем нормой.

Более точно, для векторного пространства задано отображение из в такое что выполняются следующие свойства:

1. (норма нулевого вектора равна нулю.)

2. (норма произведения вектора на скаляр равна произведению модуля скаляра и нормы вектора.)

3. (неравенство треугольника: Норма суммы векторов не превосходит суммы их норм.)

Как можно понять из определения, норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве.

Определение

Полунормированным векторным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — полунорма в .

Нормированным векторным пространством называется пара , где — векторное пространство, а — норма в .

Часто обозначение и опускают и пишут просто , если из контекста ясно, какая норма или полунорма имеется в виду.

Метрика нормированного пространства и связь с нормой

В нормированном пространстве определяет метрику.

Свойства метрики и связь с нормой в нормированном пространстве:

1. если то есть то

2.

3.

(это обычные свойства нормы и метрики и их связь в нормированных пространствах.)

Метрика в нормированных пространствах обладает двумя дополнительными свойствами:

4. (инвариантность относительно сдвига)

5. (положительная однородность)

Банахово пространство — нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа. Названо по имени польского математика Стефана Банаха (1892—1945), который с 1922 года систематически изучал эти пространства, используя введённую им аксиоматику.

Некоторые примеры банаховых пространств (далее через обозначено одно из полей или ):

– Евклидовы пространства с евклидовой нормой, определяемой для как , являются банаховыми пространствами.

– Пространство всех непрерывных функций , определённых на закрытом интервале будет банаховым пространством, если мы определим его норму как . Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как . Этот пример можно обобщить к пространству всех непрерывных функций , где — компактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций , где — любое топологическое пространство, или даже к пространству всех ограниченных функций , где — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются банаховыми алгебрами.

– Если — вещественное число, то пространство всех бесконечных последовательностей элементов из , таких что ряд сходится, является банаховым относительно нормы, равной корню степени из суммы этого ряда, и обозначается .

– Банахово пространство состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из ; норма такой последовательности определяется какточная верхняя грань абсолютных величин (модулей) элементов последовательности.

– Снова, если — вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени этого интеграла определим как норму . Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: и эквивалентны тогда и только тогда, когда норма равна нулю. Множествоклассов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как . Важно использовать именно интеграл Лебега, а неинтеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L^p-пространства.

– Если и — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму , которая опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.

– Если — замкнутое подпространство банахова пространства , то факторпространство снова является банаховым.

– Любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

– Если и — банаховы пространства над одним полем , тогда множество непрерывных -линейных отображений обозначается . Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. — векторное пространство, и, если норма задана как , является также и банаховым.

– Пространство представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.