Вопрос № 11. Проблемы tctp и эвристические методы их решения (cpm-cost, метод Гояла)
TCTP – time cost trade-off problem
Ключевая проблема – нахождение компромисса между продолжительностью и стоимостью проекта.
Задачи для решения
Нахождение такого расписания проекта с заданной продолжительностью (навязанный финиш), которое позволит минимизировать стоимость его исполнения.
Нахождение такого расписания проекта с заданным бюджетным ограничением, которое позволит минимизировать продолжительность его выполнения.
Методы решения CPM-COST, Метод Гояла
Эвристические методы
CPM-COST
Основная идея: Применение дополнительных средств и ресурсов может сократить продолжительность критического пути.
Основная цель: Ускорить время реализации проекта при минимальных затратах.
Алгоритм
Расчет модели и определение критического пути
Расчет градиента издержек для каждой работы критического пути
Исключение из полученного списка тех работ, у которых отсутствует градиент издержек
Начало процесса сокращения длительности работ с критической работы, которая имеет наименьший градиент издержек
Отслеживать возможное появление нового критического пути
Если в сети имеются два и более критических пути, то следует сокращать длительности на одну и ту же величину на всех параллельных критических путях.
Недостатки
Возможность появления нового критического пути
Чревато срывом сроков так как за работами теперь надо следить так как они сокращены до максимума
Не дает оптимального решения так как не учитывает количество параллельных путей
Решение недостатка, так как учитывает параллельные пути, дает оптимальное решение
Усовершенствованный метод (Goyal, 1996)
Определение всех полных путей, которые нужно сократить (длина которых более требуемой продолжительности проекта)
Расчет градиента для всех работ (которые входят хотя бы в один путь, найденный выше)
Принятие решения о сокращении той работы, у которой наименьшее соотношение градиента и количества путей выбранных для сокращения, в которой присутствует эта работа
Увеличение продолжительности тех работ, более раннее сокращение которых привело к чрезмерному сокращению выбранных путей
Повторять с шага 3 до тех пор, пока не сократятся все выбранные пути. Отношение градиента к количеству путей из шага 3 необходимо пересчитывать, когда сокращается общее количество путей к сокращению в результате работы алгоритма.
Билет № 12. Метод ветвей и границ для решения проблемы rcpsp (Precedence Tree)
RCPSP – проблема расчета расписания проекта в условиях ограниченных возобновляемых ресурсов
Метод ветвей и границ — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является комбинаторным (представляет собой алгоритм перебора) с отсевом подмножеств множества допустимых решений, не содержащих оптимальных решений. Метод был впервые предложен Ленд и Дойг в 1960 г. для решения задач целочисленного линейного программирования.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений (то есть нахождения времени начала каждой работы и общей продолжительности проекта).
Интерес к этому методу и фактически его “второе рождение” связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрела, посвященной задаче коммивояжера.
Задача коммивояжёра заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с последующим возвратом в исходный город. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило, указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз — в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов. Наряду с применением метода ветвей и границ к решению данной задачи можно также применить метод генетических алгоритмов, а также алгоритм муравьиной колонии. Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра — методы эвристические.
Начиная с этого момента, появилось большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера. В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда — наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы. Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд — оптимальное решение задачи. В противном случае, из неотброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т.д.
3 правила применения метода:
Выстраиваем расписание по возрастанию порядкового номера
Каждая последующая работа должна выполняться не раньше предыдущей
Если получаем число большее уже найденного раннее, то вычеркиваем эту ветку
Эвристическая схема метода ветвей и границ
Процедура ветвления рассматривает все допустимые варианты построения перестановок.
Процедура отсева предполагает, что если значение верхней (достижимой) оценки в одной из вершин дерева ветвлений не больше значения нижней оценки в другой вершине, то вторая вершина исключается из рассмотрения (3 правило).
Процедура останова определяет окончание процесса вычислений. Если осталась неотброшенной лишь одна вершина, в которой значения оценок совпадают, то найдено оптимальное решение задачи, которое определяется перестановкой, соответствующей верхней оценке.