Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Г.Р._КОЩАНОВАМАТЕМАТИКАЛЫ__МОДЕЛЬДЕУ_П_Н_НЕН_.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.07.2025
Размер:
152 Кб
Скачать

2.3 Сызықтық бағдарламалау есебін симплекс әдісімен шешу

Егер сызықтық бағдарламалау есебінің алғашқы тіреуіш жоспары, яғни шешуі белгілі болса, онда оның оптималдьдық, яғни ең қолайлы шешіміне симплекс әдісі арқылы кӛшуге болады. Бұл әдіс бойынша жаңа тіреуіш жоспарын анықтай отырып және сол жоспарға сәйкес мақсатты функцияның үлкен (немесе кіші) мәнін, алғашқы мәнге қарағанда, алуға болады. Егер берілген есептің жоспары жоқ болса немесе берілген мақсатты функция шешімдер кӛпбұрышында шектелген болса, бұл жағдайлардың барлығы симплекс әдісі бойынша шешімдерді анықтау жолында байқалады.

Сызықтық программалау есебі берілген:

Fmax

= c1x1 + c2 x2 +... + cn xn

+ cn+ xn+ +... + cn+m xn+m

(2.9)

мақсатты функциясы келесі шарттарды қанағаттандыратын болсын:

ìa11x1 + a12x2 + ... + a1n xn + xn +1 = b1

ï

+ a22x2 + + a2n xn + xn +2 = b2

ïa21x1

í

........................................................

ï

ï

+ am2 x2 + + amn xn + xn +m = bm

îam1x1

x j ³ 0 ( j = 1, n + m)

(2.10) жүйесін векторлық түрде жазайық:

A1x1 + A2 x2 +... + An xn + An+1xn+1 +... + An+m xn+m = B ,

мұнда

(2.10)

(2.11)

(2.12)

æa11

ö

ç

÷

ça21

÷

A1

= ç

...

÷,

ç

÷

ç

am1

÷

è

ø

æa12

ö

æa1т

ö

ç

÷

ç

÷

ça22

÷

ç

a2т ÷

A2

= ç

...

÷,

Aт = ç

...

÷,

ç

÷

ç

÷

ç

am 2

÷

ç

÷

è

ø ...,

è

aø

æ1

ö

æ1

ö

ç

0

÷

ç

0

÷

A

=

ç

÷

A

=

ç

÷

ç

,

ç

,

т +1

...

÷

т +2

...

÷

ç

÷

ç

÷

ç

0

÷

ç

0

÷

è

ø

è

ø ...,

æ0

ö

ç

0

÷

A

=

ç

÷

ç

,

т +L

...

÷

ç

÷

ç

am1

÷

è

ø

æb ö ç 1 ÷ = çb2 ÷

ç... ÷

ç ÷ çb ÷ è m ø

An+1, An+2 ,..., An +m векторлары - m -Ûлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз бірлік векторлары. Олар кеңістіктің базисін құрайды. Сондықтан (2.12) жіктелуінде

базистік деп

xn+1 , xn+2 , ..., xn+m

белгісіздерін таңдаймыз, ал

еркін

x1 , x2 , ..., xn

белгісіздерін нӛлге

теңестіреміз де,

xn+1

= bi ³ 0 (i = 1, m)

болатындығын

және

An+1, An+2 ,..., An+m

- бірлік векторлары екендігін ескеріп, алғашқы жоспарды

анықтаймыз:

X 0 = (x1

= 0; x2 = 0;...; xn+1 = b1 ; xn+2

= b2 ; ...; xn+m = bm ) , (2.13)

(2.13) жоспарына келесі жіктелу сәйкес келеді:

An+1xn+1 + An+2 xn+2 +... + An+m xn+m

= B

(2.14)

,

18

мұнда

An+1

+ An+2

,..., An+m

векторлары сызықтық тәуелсіз, сондықтан анықталған

алғашқы (2.13) жоспары тіреуіш болады.

Егер есептің шартын және алғашқы берілгендерді симплекс-таблицаға жазсақ, онда тіреуіш жоспардың оптималды болуы, сол сияқты барлық есептеу процесін жүргізу тиімді болады.

«Базис» бағанасына бірлік (базистік) An+1 + An+2 ,..., An+m векторлары енгізіледі. Берілген базисті векторлардың индекстеріне сәйкес болатын мақсатты функциядағы

айнымалылардың коэффициенттері Сd 10ғанасына жазылады.

В бағанасына алғашқы тіреуіш жоспардың компоненттерін және есептеу нәтижесінде табылатын ең қолайлы жоспардың компоненттері жазылады.

А j векторлар бағаналары осы векторладың берілген базистік векторлары бойынша жіктелу коэффициенттері болады.

Есептің берілгендері симплекс-таблицаның алғашқы m жолдарымен

анықталады, ал (m +1)-ші жолдың кӛрсеткіштері есептеледі. Осы жолдың В бағанасында:

F = (C

d

, B)

(2.15)

формуласы бойынша есептелінетін мақсатты функцияның мәні жазылады, ал

А j

векторының бағанасында:

D j = (Cd , Aj ) - c j , ( j =1, n)

(2.16)

m

m

(Cd , B) = åci bi

(Cd , A j ) =

åci aij , ( j = 1, n) -

мәндері, мұнда

i =1

және

i =1

векторлардың скаляр

кӛбейтіндісі, ал

ci - таблицаның і-ші жолында орналасқан элемент.

D

j

мәндерін

жоспардың бағалары деп аталады (2.1 кесте).

2.1 кесте

Базис

Сd

B

c1

c2

cn

cn+1

cn+2

cn+m

A1

A2

An

An+1

An+2

An+m

1

An+1

cn+1

b1

a11

a12

a1n

1

0

0

2

An+2

cn+2

b2

a21

a22

a2 n

0

1

0

...

...

...

m

An+m

cn+m

bm

am1

am 2

amn

0

0

1

m +1

D j

F0

D 1

D 2

D B

0

0

0

Кестені

толтырғаннан

кейін,

ондағы

(m + n)

жолындағы

D

j

элементтерін қарап,

тіреуіш жоспары ең қолайлы болатындығын тексереді.

Осының нәтижесінде келесі үш мүмкіндіктің біреуі орындалады:

  • Барлық j = 1, n үшін D j ³ 0 болғанда тіреуіш жоспары ең қолайлы болады.

  • Қандай да бір j үшін D j < 0 және осы индекске сейкес келетін aij £ 0 (i = 1, m) болса, онда жоспарлар жиынында мақсатты функция жоғарғы жағынан шектелмеген және де есептің шешімі жоқ.

19