3. Линеаризация уравнений

Выгоды линейности бывают столь велики, что приближенная замена нелинейных соотношений на линейные, нелинейных моделей на линейные, т. е. линеаризация соотношений, моделей и т. д. весьма распространена в моделировании.

Рассмотрим вначале два наиболее часто используемых случаев линеаризации: либо если эксперимент показывает (как, например, для закона Гука), что отклонение от линейности в рассматриваемом диапазоне ab изменения переменных невелико и несущественно (рис.6.1,а), либо же необходимо линеаризовать функцию в окрестности точки a (рис.6.1,б).

В первом случае используется линейная интерполяция, а во втором – линеаризация с применением ряда Тейлора.

1. Линейная интерполяция

Задача сводится к нахождению прямой, проведенной через две точки:

, (1)

откуда , где

В общем случае линейную интерполяцию можно применить и для большего количества точек – в этом случае вместо кривой линии получаем ломаную линию, состоящую из последовательно соединенных прямых линий (рис.6.2).

2. Линеаризация с помощью ряда Тейлора

В этом случае функция y(x) раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки a (рис.6.1,б):

с отбрасыванием всех членов высшего порядка малости (в этом и состоит линеаризация): , (2)

где .

Второе слагаемое в (2) – дифференциал функции y(x) в точке a.

Пример. Исходная математическая модель является квадратным трехчленом:

. (3)

Необходимо линеаризовать эту модель в окрестности точки x=2.

Решение. По (3) находим: =4. Производная

в точке x=2 равна: =3, тогда линеаризованная модель

. (4)

Сравним результаты расчетов по формулам (3) и (4):

Таблица 1

x			Относительная погрешность,%
2	4	4	0
2.01	4,03	4,03	0
2,04	4,123	4,12	0,07
2,1	4,32	4,3	0,46
2,5	6	5,5	8,3

Как видим, при малых отклонениях погрешности получаются незначительными.

К тому же, модель (4) проще, чем (3), но недостатком такого подхода является необходимость пересчета коэффициентов (фактически построение другой модели) при существенном изменении значения x (например, при x=3).

11