Дуальные цепи.

Представляет интерес сопоставить кривые последовательной и параллельной цепей. Зависимости в этих цепях полностью совпадут, если заменить токи на напряжения, емкость на индуктивность и сопротивление на проводимость. Такие цепи называются дуальными. Дуальными являются и любые две сложные планарные эл. цепи, в которых взаимно соответствуют: контурам – узлы, последовательному соединению – параллельное, источникам ЭДС – источники тока, индуктивностям – емкости, сопротивлениям – проводимости. Процессы в дуальных цепях аналогичны при замене напряжений на токи и обратно, в частности резонансу напряжений в одной цепи соответствует резонанс токов в другой.

Законы коммутации???

? ? ? ? ?

?

?

1 закон: в момент коммутации ток и потокосцепление в катушке индуктивности сохраняют свое значение. Это непрерывные функции.

2 закон: напряжение и заряд конденсатора сохраняют сове значение в момент коммутации.

?

Теория:

1) Коммутация осуществляется мгновенно в момент времени t=0.

2) при отрицательном времени цепь находится в некотором установившемся режиме предшествующим коммутации.

Момент времени непосредственно предшествующий коммутации будем обозначать (–0), момент непосредственно следующий после коммутации (+0).

1)

2)

Переходный, принужденный и свободный процессы.

Для анализа переходного процесса нужно записать уравнение состояния цепи после коммутации.

Две составляющих общего решения:

. Первое слагаемое – частное решение исходного неоднородного уравнения – совпадает с установившимся ?значением? переходной величины и определяется видом задающей функции. Это решение – принужденное (процесс принужденный). Второе слагаемое – общее решение ОДУ – описывает процесс в цепи происходящий без источника энергии за счет запаса энергии. Это свободная составляющая и свободный процесс. . При свободная составляющая =0.

A1, A2 – постоянные интегрирования. p1 и p2 – корни характеристического уравнения. Действительные части корней должны быть отрицательными. , только в этом случае существует .

Короткое замыкание в цепи с последовательным соединением r и l.

. Характеристическое уравнение:

- постоянная времени.

убывает тем быстрее, чем меньше постоянная времени.

Свойства:

1) за любой промежуток времени равный  переходная величина изменяется в e раз.

.

За переходная величина уменьшается до 1% своего первоначального значения. На практике 5 считается практической длительностью переходного процесса.

2) подкасательная в любой точке кривой переходной величины равна постоянной времени: . В момент коммутации скачком возникает ЭДС самоиндукции: .

Замыкание цепи с последовательным соединением r и L на добавочное сопротивление.

Также скачком возникает ЭДС самоиндукции.

- перенапряжение. ?на катушке индуктивности равно бесконечности?

Включение цепи с последовательным соединением R и L на постоянное напряжение.

Уравнение после коммутации:

При t=0: U(L)=U0;U(r)=0; при t= U(L)=0.

Включение цепи с последовательным соединением r и L на sin напряжение.

начальная фаза напряжения – фаза включения. Пусть фаза включения  такова, что

1) - в цепи сразу возникает установившийся режим.

2) . Явление сверхтока:

Короткое замыкание в цепи с последовательным соединением R и C.

Включение цепи с последовательно соединенными R и C на постоянное напряжение.

Включение последовательно соединенных r и C на sin напряжение.

Разные фазы включения:

1)

2) - сверхнапряжение.

Короткое замыкание в цепи с последовательным соединением r, L, C.

Вначале конденсатор заряжен.

a) - веществ. Переходный процесс – апериодический заряд.

б) - кратные, веществ.

Предельный случай апериодического разряда.

в) - есть тепловые потери.

- комплексные корни с Re не равной нулю.

г) - отсутствие тепловых потерь. - частота собственных гармонических колебаний контура.

Найдем свободные составляющие для случаев а,в,г):

Выражения для переходных величин:

а) исследуем апериодический разряд. 1) Вычислить момент t0 по условию:

2) доказать, что в момент t0 наблюдается экстремум тока:

исходит из предыд.

3) Доказать, что t=t0 – перегиб U(C). . Также сводится к первому условию.

б) предельный случай апериодического разряда:

раскроем неопределенность путем предельного перехода с помощью правила Лопиталя:

Исследование энергетических потоков для апериодического разряда: в интервале 0<t<t0 напряжение на конденсаторе положительно, ток в нем отрицателен, значит мощность отрицательна, т.е. энергия отдается конденсатором из его ЭП. Напряжения на катушке и сопротивлении одного знака с током, значит т.е. энергия поступает в катушку, запасаясь в ее МП, и выделяется в виде теплоты в сопротивлении. В интервале напряжение на катушке, как и на конденсаторе, положительны – они совместно преодолевают сопротивление цепи, теперь мощность и катушка, как и конденсатор отдает запасенную энергию, которая вся превращается в теплоту.

в) Затухающие колебания характеризуются декрементом затухания – отношение значения величины к ее значению через период.

Логарифмический декремент затухания:

Анализ энергетических потоков: Процесс является колебательным. Ток и напряжения на всех участках периодически меняют знак. Амплитуда колебаний убывает по показательному закону, т.е. в цепи совершаются затухающие колебания тока и напряжений, период которых вычислен ранее. К моменту, когда конденсатор полностью разрядится, ток в катушке еще сохраняет свое конечное значение. Сохранившаяся энергия в магнитном поле катушки является причиной того, что процесс продолжается. Ток поддерживаемый ЭДС самоиндукции, продолжает протекать и заряжает конденсатор. Т.к. существуют тепловые потери на резисторе, амплитуды колебаний тока и напряжений постепенно уменьшаются.

Дополнить!!!

г) Переходный процесс – установившиеся гармонические колебания. Энергетические потоки: т.к. нет тепловых потерь, вся энергия конденсатора переходит в катушку, затем обратно и т.д. до бесконечности.