Резонансные явления.

Реактивные сопротивления и проводимости отдельных участков цепи могут быть как положительными, так и отрицательными величинами, т.е. могут взаимно компенсироваться. Поэтому возможны случаи когда входное реактивное сопротивление равно нулю. При этом ток и напряжение на входе цепи совпадают и эквивалентное сопротивление всей цепи будет активным. Это явление резонанса.

Последовательный колебательный контур.

Комплексное сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединенных участков r, L и С определяется как:

Резонанс имеет место, если «фи»=0, что равносильно при последовательном соединении условию . Резонанса можно достичь, изменяя или частоту приложенного к цепи напряжения, или индуктивность катушки, или емкость конденсатора. Значения этих величин при которых возникает резонанс, определяются формулами: . w0 – резонансная частота. Если напряжение U на зажимах цепи и активное сопротивление r цепи не изменяются, то ток при резонансе имеет наибольшее значение равное U/r, не зависящее от значений реактивных сопротивлений. Если реактивные сопротивления XL=Xc при резонансе превосходят по значению активное сопротивление r, то напряжения на зажимах реактивной катушки и конденсатора могут превосходить напряжение на зажимах цепи. Поэтому резонанс при последовательном соединении называют резонансом напряжений. Превышение напряжения на реактивных элементах цепи над напряжением на зажимах имеет место при условии:

Величина  (Ом) – волновое сопротивление.

Величина Q определяет кратность превышения напряжения на зажимах индуктивного и емкостного сопротивлений над напряжением на зажимах всей цепи – это добротность. (определяет резонансные свойства контура). . Принята также величина d=1/Q – затухание контура.

Энергетические процессы резонансного режима.

Мгновенная мощность на зажимах катушки и конденсатора: . При резонансе, когда UL=Uc, эти мощности в любой момент времени равны и противоположны по знаку. Это значит, что происходит обмен энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, причем обмен энергией между полями цепи и источником не происходит, т.к.

Т.е. суммарная энергия полей в цепи остается постоянной. Энергия переходит из конденсатора в катушку в течение четверти периода, когда напряжение на конденсаторе по абсолютному значению убывает, а ток по абс. значению возрастает. В течение следующей четверти периода все происходит наоборот.

Источник энергии, питающий цепь, только покрывает расход энергии на участке с сопротивлением r.

Част. Хар-ки послед. Колебательного контура.

В данной цепи активное сопротивление не зависит от частоты. Реактивное сопротивление

при трех характерных значениях частоты принимает предельные значения, равные либо нулю, либо бесконечности. (см рис.!). Аргумент при котором функция принимает бесконечное движение – полюс функции, а аргумент при котором нулевое – ноль этой функции. В данном случае полюсами будут частоты, при которых x(w)=, т.е. w=0 и w=, а нулем будет частота, при которой x(w)=0, т.е. w=w0. Характерное свойство функции x(w) в том, что при всех частотах dx/dw>0. В момент резонанса происходит изменение характера реактивного сопротивления. При частоте меньшей чем резонансная, реактивное сопротивление имело емкостный характер (x<0, <0), то при w>w0 оно принимает индуктивный характер (x>0,>0). В частном случае, если r=0, при частоте w=w0 происходит скачкообразное изменение угла  от –п/2 до +п/2, т.е. происходит опрокидывание фазы.

Рассмотрим зависимость от частоты реактивной проводимости: . Для случая, когда r=0: .

Реактивная проводимость при отсутствии r в цепи также имеет три характерные частоты – два нуля (w=0, w=), при которых b=0, и один полюс (w=w0), при котором b=. По характеру кривой b(w) можно заметить, что с увеличением частоты величина b всегда убывает, т.е. при всех частотах db/dw<0. Это свойство относится к реактивным проводимостям любых сколь угодно сложных цепей без потерь.

При r не равном нулю реактивная проводимость зависит не только от L и С, но и от активного сопротивления r. При наличии активного сопротивления в цепи и при w=w0 для данной цепи b=0, т.е. резонансная частота является нулем b. Однако влево и вправо от этой частоты реактивная проводимость резко возрастает. Экстремумы b(w) наступают при , и равны соответственно .

Частотная характеристика I(w) выражается формулой . На рис. также приведены частотные характеристики

. При w=0 будет I=0, т.к. конденсатор не пропускает постоянный ток, т.е. все приложенное напряжение приходится на зажимы конденсатора. При w= имеем I=0, т.к. сопротивление катушки бесконечно и соответственно все напряжение падает на зажимы катушки. При частоте резонанса w=w0 имеем UL=Uc и т.к. напряжения на катушке и на конденсаторе взаимно компенсируются, то все напряжение приходится на участок с сопротивлением r (Ur=Ir=U). Диаграмма на рис. приведена для случая d<1, вследствие чего при частоте резонанса Uc=UL>U. Максимум Uc наступает при частоте, меньшей w0, т.е. раньше максимума I, т.к. для получения величины Uc необходимо умножить ток на убывающую величину 1/(wC). Максимум же UL достигается при частоте, превышающей w0, по аналогичным причинам. Резонансные кривые – кривые, выражающие зависимость величин I, UL, Uc от частоты, дающие графическое изображение частотных характеристик цепи.

Резонансными кривыми называют также зависимости этих величин от изменяющейся индуктивности или от изменяющейся емкости при неизменной частоте.

Рассмотрим зависимость от относительной частоты относительного значения тока I/I0, где I0=U/r – ток при резонансе.

Налицо зависимость только от затухания d. Для определения d положим I/I0=1/2. Получаем . Положительные корни уравнения равны . Т.е. чем больше затухание контура, тем более широкой оказывается резонансная кривая I/I0, и наоборот. Принято условно говорить, что цепь пропускает частоты, при которых (1), т.е. когда мощность , поглощаемая цепью, больше половины максимальной мощности при резонансе. Можно ввести понятие полосы пропускания как диапазона частот, для которых имеет место условие (1).