Расчет мощностей. Баланс.

Комплексные сопряженные числа:

Теорема Ланжевена: в цепи sin тока должен выполняться баланс комплексной мощности.

Расчет сложных эл. цепей sin тока компл. методом.

При расчете установившихся режимов цепей sin тока справедливы все ранее изученные методы. Мат. модели составляются точно также, только вместо: сопротивления – комплексное сопротивление, вместо I, U, e – их комплексы. После анализа осуществляется переход к sin оригиналам.

Топографическая диаграмма.

При изображении напряжений в рассматриваемой цепи с помощью векторов целесообразно ей воспользоваться. Особенностью является то, что каждой точке эл. цепи соответствует определенная точка на плоскости диаграммы. Расположение этих точек на диаграмме должно быть таким, что напряжение между двумя любыми точками эл. цепи изображалось вектором, соединяющим соответствующие точки.

Двухполюсник в цепи sin тока.

Рассматривая всю цепь в целом как двухполюсник и не интересуясь ее внутренним строением, можно охарактеризовать ее некоторыми эквивалентными параметрами:

Эквивалентное полное сопротивление всей цепи – отношение действующих напряжения и тока на входе цепи. . Может быть измерено с помощью вольтметра и амперметра.

Эквивалентное активное сопротивление всей цепи – отношение активной мощности на зажимах к квадрату действующего тока: .

Эквивалентное реактивное сопротивление всей цепи:

. Знак «+» если >0, и «-» <0. Для определения знака нужен фазометр.

Эквивалентные проводимости будут равны:

. Знак bэ находится точно также. Связь с углом:

Связь между эквивалентными сопротивлениями и проводимостями:

Векторные диаграммы:

Формально можно разложить вектор напряжения на две составляющие – вдоль вектора тока и перпендикулярно ему. Они будут равны соответственно: . Эти составляющие иногда называют активной и реактивной составляющими приложенного напряжения, а образуемые ими и вектором U прямоугольные треугольники – треугольниками напряжения. Разделив все стороны этих треугольников на I, получим треугольники сопротивлений. Аналогично можно разложить вектор тока на составляющие вдоль вектора напряжения и перпендикулярно ему. Они равны . Это активная и реактивная составляющие тока, а образуемые ими и вектором I прямоугольные треугольники – треугольники тока. Разделив все стороны этих треугольников на U, получим треугольники проводимостей.

Составляющие треугольников сопротивлений и проводимостей не являются вращающимися векторами, т.к. не изображают функций времени, в отличие от векторов U и I. Разложение напряжения на активную и реактивную составляющие имеет физический смысл только для простой последовательной цепи, при этом активная составляющая равна падению напряжения на участке с r, а реактивная равна падению напряжения а участке с катушкой и конденсатором. Для параллельной цепи и более сложных цепей такое разложение чисто формальное. Все это относится и к разложению тока в параллельной цепи.

Последовательные и параллельные схемы замещения двухполюсника на заданной частоте.

Приведенные выше эквив. параметры двухполюсника сложным образом зависят от структуры цепи двухполюсника и конкретных параметров ветвей. Эти эквив. параметры в общем случае зависят от частоты приложенного напряжения. Для заданной частоты и конкретной цепи они являются вполне определенными, что дают возможность заменить двухполюсник для этой частоты схемами замещения (на рис.).

Например, конденсатор с потерями в диэлектрике может заменен схемами замещения, на рис. Процессы в таком конденсаторе принято характеризовать углом потерь , дополняющим абсолютное значение угла  до п/2. Получим связь между параметрами параллельной и последовательной схем замещения. Имеем: Таким образом r2>r1 и С2<C1. Т.к. обычно tg<<1, то r2>>r1, а С1С2. При значительном изменении частоты от нее зависят все параметры обеих схем замещения. Это следует из того, что потери в конденсаторе при переменном напряжении приблизительно пропорциональны квадрату напряжения и первой степени частоты, и поэтому g2 изменяется приблизительно пропорционально частоте. Соответственно и r1 является функцией частоты. Следует учесть, что и tg изменяется с изменением частоты. При очень высоких частотах приходится считаться с индуктивностью, которой обладает конденсатор. Все это приводят к тому, что эквивалентные сопротивления и проводимости конденсатора сложным образом зависят от частоты.

Аналогичная картина и в случае с катушкой. При низких частотах она представляет собой индуктивное сопротивление, но при высокой частоте наличие емкости между витками может привести к тому, что ее эквивалентное сопротивление приобретет емкостный характер. Активное сопротивление тоже будет зависеть от частоты из-за влияния поверхностного эффекта и вихревых токов.

По измерениям параметров индуктивной катушки при низкой частоте невозможно определить реальные параметры этого элемента. Рассмотрим приближенную схему замещения индуктивной катушки на рис.

Последовательный участок имеет эквивалентные параметры: . Следовательно, вся цепь состоящая из параллельного соединения этого участка с конденсатором, имеет параметры:

. Преобразуем эти параметры:

При весьма низких частотах, пренебрегая слагаемыми, пропорциональными w², можно записать:

Из этого выражения видно, что даже при весьма низких частотах эквивалентная индуктивность не равна реальной индуктивности катушки. Это следствие того, что даже при постоянном токе за счет падения напряжения в активном сопротивлении индуктивной катушки возникает ЭП, энергия которого:

Из сказанного вытекает, что определив теоретически, или экспериментально параметры цепи или ее отдельных элементов при одной частоте, в частности при постоянном токе, нельзя пользоваться этими параметрами при другой частоте, не убедившись предварительно в допустимости этого.