10

Содержание

Вариант 5 3

Индивидуальное задание № 1 3

Задача 1 3

Решение 3

Задача 2 5

Решение 5

Задача 3 5

Решение 6

Задача 4 6

Решение 6

Задача 5 7

Решение 7

Задача 6 7

Решение 7

Задача 7 8

Решение 8

Задача 8 8

Решение 9

Список использованной литературы 10

Вариант 5 Индивидуальное задание № 1 Задача 1

Распределение СВ Х – заработной платы сотрудников на фирме (в у.е.) – задано в виде интервального ряда:

Хmin	Xmax	fi
300	360	10
360	420	20
420	480	30
480	540	25
540	600	10
600	660	5

Найти . Построить теоретическое нормальное распределение и сравнить его с эмпирическим с помощью критерия согласия Пирсона при α=0,05.

Решение

Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	(x - xср)2*f
300 - 360	330	10	3300	174240
360 - 420	390	20	7800	103680
420 - 480	450	30	13500	4320
480 - 540	510	25	12750	57600
540 - 600	570	10	5700	116640
600 - 660	630	5	3150	141120
Итого		100	46200	597600

Средняя заработная плата:

= 46200/100 = 462 у.е.

Дисперсия:

= 597600/100 = 5976

Несмещенная оценка дисперсии:

= 597600/99 = 6036,36

Среднее квадратическое отклонение:

Оценка среднеквадратического отклонения:

1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где p_i — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей p_i применим формулу и таблицу функции Лапласа

где

s = 77.3, x_ср = 462

Теоретическая (ожидаемая) частота равна n_i = np_i, где n = 100

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 100pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki
300 - 360	10	-2.09	-1.31	-0.48	-0.41	0.0755	7.55	0.8
360 - 420	20	-1.31	-0.54	-0.41	-0.21	0.2	19.78	0.0024
420 - 480	30	-0.54	0.23	-0.21	0.0948	0.3	30.36	0.0042
480 - 540	25	0.23	1	0.0948	0.34	0.25	24.9	0.0004
540 - 600	10	1	1.78	0.34	0.46	0.12	11.87	0.29
600 - 660	5	1.78	2.55	0.46	0.49	0.0323	3.23	0.97
	100							2.07

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).

Её границу K_kp = χ²(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ² и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры x_cp и s оценены по выборке).

K_kp = χ²(6-2-1;0.05) = 7.81473; Kнабл = 2.07

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Задача 2

В процессе исследования среднедушевого дохода (в руб.) обследовано 100 семей. Выявлены оценки: . В предположении о нормальном законе найти долю семей, чей среднедушевой доход находится в пределах от 1200 до 1800.

Решение

Нормальный закон выражается плотностью:

Для вычисления вероятности попадания случайной величины, распределенной нормально, на промежуток используется функция Лапласа:

Получим,

Т.е., примерно 69,2% семей имеют среднедушевой доход от 1200 до 1800 руб.

Задача 3

Объем дневной выручки в 5 торговых точках (в тыс. у.е) составил:

15,20,25,22, х₅. Учитывая, что , найти выборочную дисперсию .

Решение

Среднее:

Найдем выборочную дисперсию:

x	|x - xср|	(x - xср)2
15	6	36
20	1	1
22	1	1
23	2	4
25	4	16
105	14	58

= 58/5 = 11,6

Несмещенная оценка дисперсии:

= 58/4 = 14,5