Модуляция электронного пучка

Полное приращение энергии электрона в зазоре составляет:

DW = (1/d) eU₁sinwt dx. (1-1)

Положим далее, что амплитуда модуляции мала: U₁<< U₀, и, пренебрегая малым изменением скорости электрона в зазоре, найдем связь времени t c текущей координатой x:

t = t₁ + x/v₀, (1-2)

где t₁ - момент нахождения электрона в центре зазора, а v₀ = (2eU₀/m)^1/2- скорость электрона на входе в зазор. Подставляя (1-2) в (1-1), после интегрирования по x имеем:

DW = eU₁sinwt₁ [sin(q/2)/(q/2)] = eU₁M sinwt₁. (1-3)

M = sin(q/2)/(q/2) (1-3’)

M - коэффициент взаимодействия пучка с зазором (коэффициент модуляции), q = wd/v₀ - невозмущенный угол пролета электронов сквозь модулирующий зазор. Полная кинетическая энергия электрона с учетом (1-3):

W = mv²/2 = eU₀ + eMU₁sinwt₁. (1-4)

Находя полную скорость электрона v из (1-4) с последующим разложением подкоренного выражения в ряд по малому параметру U₁/U₀ и оставляя член первого порядка малости, получаем:

v » v₀[1 + (1/2)(MU₁/U₀) sinwt₀] = v₀ [1+ (v₁/v₀) sinwt₁], (1-5)

v₁/ v₀ = f(q) = M(q)U₁/2U₀ (1-6)

где v₁ амплитуда скорости. При q = 0, M =1: v₁= v₀U₁/2U₀ -принимает максимальное значение скорости модуляции в зазоре нулевой протяженности. Конечное значение угла пролета снижает эффективность модуляции пропорционально M(q) (поведение этой функции показано на Рис.1-2).

Группировка электронов в пространстве дрейфа

Электрон, пройдя первый зазор в момент t₁, войдет во второй зазор в момент t₂:

t₂ = t₁ + s / (v₀ + v₁sinwt₁), (1-7)

где индексы 1 и 2 приписаны соответственно порядку самих резонаторов. Вынося в (1-7) за скобки параметр s/v₀, а затем, проведя его разложение по малому параметру v₁/v₀ и отбросив члены выше первого порядка, получаем:

t₂ = t₁ + (s/v₀)[1 + (v₁/v₀)sinwt₁] ^-1 » t₁ + (s/v₀) - (sv₁/v₀²)sinwt₁. (1-8)

Умножим (1-8) на w и введем т.н. параметр группировки X:

X = wsv₁/v₀² = (ws/v₀) (v₁/v₀), (1-9)

который с помощью (1-6) и нового обозначения Q = ws/v₀ - угла пролета в пространстве дрейфа преобразуем к виду:

X = QMU₁/2U₀. (1-10)

Используя введенные обозначения, перепишем уравнение (1-8) в виде

wt₂ - Q = wt₁ - Xsinwt₁. (1-11)

Уравнение (1-11) устанавливает связь фазы прибытия электрона во 2-й зазор от фазы его вхождения в 1-й зазор. Если в 1-м зазоре модулирующее поле отсутствует U₁= 0 и X = 0, то указанные фазы связаны линейно, в общем случае U_{1 ¹} 0 и X ¹ 0 эта связь нелинейна, что иллюстрируется Рис.1-3а для параметров X = 0; 0,5; 2,0. С ростом X график функции (1-11) все сильнее отклоняется от прямой и при больших X становится неоднозначным. Значение сказанного станет понятным при рассмотрении формы волн конвекционного тока в пространстве дрейфа.

Чтобы подойти к этому рассмотрению воспользуемся законом сохранения заряда, сделав предположение о том, что электроны по пути следования не теряются на сетках или стенках дрейфового пространства. Пусть некоторый элемент заряда dq, взятый на интервале dx, проходит последовательно два сечения x₁ и x₂ в моменты времени t₁ и t₂. Плоскость x₁ он пересекает за время dt₁ и переносит ток i₁, а плоскость x₂ - за время dt₂ и переносит ток i₂.

dq = i₁dt₁ = i₂dt₂ (1-12)

Перепишем это соотношение i₂ = i₁(dt₁/dt₂) = i₁/(dt₂/dt₁), (1-13)

затем, взяв производную от зависимости (1-11) dt₂/dt₁ = 1 - X coswt₁, подставляем ее в (1-13) и производим замену i₁ на I₀, значение тока еще не возмущенное модуляцией, связывая тем самым сечение x₁ с зазором первого резонатора:

i₂ = I₀/( 1 - X coswt₁) или i₂/I₀ = |1 - X coswt_1| ^-1. (1-14)

Выражение (1-14) справедливо для произвольной координаты x₂ дрейфового пространства, нужно лишь иметь в виду, что X зависит от угла пролета Q. Модуль в правой части окончательного выражения (1-14) */ исключает возможные

________________________________________________________________________

*Примечание: Выражение в знаменателе (1-14) представляет собой проекцию трохоиды на ось, перпендикулярную направлению качения оружности.

отрицательные значения тока i₂, для случаев, когда X > 1. Из (1-14) следует, что ток в заданной координате x₂ изменяется периодически с частотой w, но несинусоидально. Вид зависимости тока от времени представлен на Рис.1-4 для X = 0,5; 1,0 и 1,5. Сдвоенные импульсы тока при X > 1 являются следствием неоднозначности зависимости t₂= f(t₁) (Рис.1-3а) и связаны с опережением одних

групп электронов другими. Заметим, что даже слабую модуляцию скорости электронов можно компенсировать увеличением пути дрейфа s, чтобы достигнуть X ³ 1.

Каким должен быть оптимальный угол пролета в пространстве дрейфа Q_опт? Электроны, выйдя из первого резонатора, будут группироваться в пространстве дрейфа относительно того электрона, который пройдет зазор первого резонатора в момент перехода переменного напряжения в нем через 0, но при положительной производной, поскольку медленные электроны, вышедшие из зазора до этого момента, будут догонять более быстрые, вышедшие позднее. Сформированный в пространстве дрейфа сгусток должен входить во второй резонатор в фазе тормозящего поля, чтобы отдать энергию на возбуждение колебаний, т.е.

Q_опт = (ws/v₀)_опт = (3/2)p - y_ос + 2pn = 2p(n + 3/4) - y_ос, n = 0, 1, 2 ... (1-15)

Здесь y_ос - учитывает сдвиг фаз колебаний между резонаторами за счет обратной связи, если клистрон используется в качестве генератора. Уравнение позволяет найти U_{0 опт} при заданном s, и наоборот - s_опт при заданном U₀.

Возбуждение второго резонатора конвекционным током

Конвекционный ток в зазоре 2-го резонатора может быть представлен суммой гармоник частоты w. Опуская математические подробности, запишем разложение мгновенного конвекционного тока модулированного пучка в виде ряда Фурье:

i₂(t₂) = I₀[1 + 2 J_n(nX)cos n(wt₂ - q_s)], (1-16)

где J_n(nX) - функции Бесселя первого рода, n - номер гармоники. В частности амплитуда тока произвольной гармоники:

I_2n = 2I₀J_n(nX). (1-17)

Амплитуда тока n-ой гармоники, наведенного во 2-м резонаторе n-ой гармоникой конвекционного тока (1-16), численно равна амплитуде (1-17), умноженной на коэффициент взаимодействия электронного пучка с зазором M_2n при частоте данной гармоники, который может быть определен согласно (1-3’). Тогда мощность, отбираемая 2-м резонатором из пучка, по законам электротехники:

P_2n = (1/2) [M_2nI_2n ]_навU_2n cosj, (1-18)

где U_2n - амплитуда напряжения в зазоре выходного резонатора, j - фазовый сдвиг между наведенным током и напряжением из-за влияния импеданса внешней нагрузочной цепи. Мощность постоянного тока, подводимая к ускоряющему электроду I₀U₀, при малом параметре U₁/2U₀ не расходуется на модуляцию пучка по скорости, так как количество ускоренных электронов примерно равно количеству замедленных. Эта мощность расходуется лишь на возбуждение наведенных токов в выходном резонаторе и оставшаяся мощность пучка - в аноде. Беря отношение (1-18) к мощности постоянного тока источника, получаем электронный к.п.д. клистрона:

h_эл = (U_2n/U₀)M_2nJ_n(nX)cosj (1-19)

Оценим максимально возможный электронный к.п.д. Все входящие в (1-19) сомножители - независимы, поэтому каждый из них может принимать наибольшее значение, тогда пусть: (U_2n/U₀) = 1; для малого пролетного угла M_{2n »} 1; j = p, так как для отдачи энергии пучок должен двигаться против тормозящего поля, тогда

h_{эл макс} = {J_n(nX)}_макс . (1-20)

Оптимальная величина параметра X, отвечающая h_{эл макс}, для любого n больше 1.

Таблица1

.Максимальный электронный к.п.д. 2-хрезонаторного клистрона на гармониках частоты модуляции электронного потока на входном резонаторе.

n	hэл макс	Xмакс
1	58,2	1,84
2	48,7	1,53
3	43,4	1,40
8	32,0	1,22
16	26,0	1,13

Пролетные клистроны успешно используются в качестве усилителей мощности при неизменной амплитуде и частоте входного сигнала. При этом удается исключить влияние нелинейных искажений, добиться высокого к.п.д. при оптимальном группировании. Для дополнительного повышения к.п.д. пролетные клистроны делают многорезонаторными (Рис.1-1б). Каждый следующий резонатор одновременно играет две роли: улавливателя по отношению к первому резонатору и группирователя по отношению к третьему (их может быть три-четыре и более). Максимально возможный электронный к.п.д. многорезонаторного пролетного клистрона достигает 74%. Импульсные многорезонаторные клистроны в дециметровом диапазоне достигают мощности порядка десятков МВт, а в сантиметровом диапазоне - доли МВт. Напряжение питания таких клистронов доходит до сотен кВ, а реальный к.п.д - до 40 ¸ 50%. Большое содержание высших гармоник в конвекционном токе пучка позволяет их использовать также в качестве умножителей частоты. Пролетный клистрон усилитель можно сделать генератором если осуществить положительную обратную связь между резонаторами: улавливателем и группирователем.