1. Понятия отношений. Классы эквивалентности

Имеем множества А и В (подразумеваются множества некоторых операторов), R – отношение из А и В. R связывает элементы множества А с элементами множества В.

a R b

а - элемент множества А;

b – элемент множества В.

Пример интерпретации отношения R:

• Отношения сильной (слабой) зависимости;

• Отношения сильной (слабой) независимости.

Свойства отношения R:

1. Симметричность

aRb => bRa

2. Рефлексивность

aRa

3. Транзитивность

aRb & bRc => aRc

Отношения порядка

Отношение порядка R задает некоторую строго определенную последовательность операторов в программе: aRb, bRc, …

Отношение R на множестве элементов (операторов) А является отношением порядка, если удовлетворяет свойствам:

1. Рефлексивность;

2. Транзитивность;

3. Антисимметричность .

Отношение эквивалентности

R является отношение эквивалентности, если выполняются свойства:

1. Рефлексивность;

2. Симметричность;

3. Транзитивность.

Отношения частичного порядка

Свойства:

1. Антирефлексивность: aRa – не выполняется;

2. Транзитивность;

3. Антисимметричность.

Примеры отношений:

1. Эквивалентности - слабая независимость между операторами программы;

2. Частичный порядок - слабая зависимость между операторами.

Классы эквивалентности

Данное понятие связано с отношением эквивалентности между элементами.

Класс эквивалентности – это множество (для некоторого оператора А) элементов, связанных с А отношение эквивалентности.

[a] → {b| aRb}

Пример:

Если под отношением эквивалентности R подразумевать независимость операторов, то класс эквивалентности – это множество операторов, выполняемых независимо от А.

Отношение параллельности

Пусть O_i и O_j некоторые вычислительные операции в i-ом участке программы. - отношение параллельности. Тогда O_i1 O_i2.

Отношение является отношение эквивалентности, то есть удовлетворяет свойствам эквивалентности.

Для отношения определено множество операторов, выполняющихся независимо (параллельно) с данным, то есть класс параллельности для некоторого оператора:

[O_ij] → { O_i2| O_ij O_ik }

Таким образом, операторы O_ik, входящие в класс параллельности O_ij выполняются независимо (параллельно с ним).

2. Понятие зависимостей между операторами программы

Два оператора O_i и O_j являются информационно-зависимыми, если O_j выполняется над результатами O_i (если O_i и O_j связаны отношением частичного порядка).

Операторы O_к и O_j являются зависимыми от O_i по управлению, если результат выполнения O_i определяет активацию либо O_k либо O_j (O_i предшествует O_k и O_j, а O_i является управляющим оператором).

Операторы O_i и O_j являются конкуренционнозависимыми, если для них не выполняется следующее соотношение:

In O_i ^out O_j = In O_j ^out O _{i =} out O_i ^out O_j (1)

Отношение (1) - это условие отсутствия конкуренционной зависимости между операторами.

Различают два вида конкуренции:

• Конкуренция за значение;

• Конкуренция за переменные.