7 Распараллеливание программ на основе понятий примитивно-вычислимых и частично-вычислимых функций Понятие вычислимых и рекурсивных функций

Рекурсией называется способ задания функций, в котором значение определяемой функции для произвольных аргументов определяется значениями той же функции для меньших значений аргументов либо значениями простейших (элементарных) функций. Каждое последующее значение рекурсивной функции вычисляется на основе предыдущего. Рекурсивное определение функции может быть интерпретировано как алгоритм ее вычисления.

Функции, вычисляемые в соответствии с некоторыми алгоритмами, называются вычислимыми. Рекурсивные функции – это подкласс вычислимых функций.

7.1 Задание рекурсивных функций (Формирование процесса задания алгоритма вычислимых функций)

1. Определение простейших вычислимых функций (функций-констант), то есть функций вычислимых по определению.

2. Определение операторов над вычисляемыми функциями (оператор – это некоторая функция, формирующая результат). Рекурсивная функция является вычислимой, если ее аргументы другие рекурсивные функции.

3. Определение операторов, то есть некоторых функций (некоторых термов), аргументами которых являются другие вычислимые функции.

4. Функция, аргументами которой являются вычислимые функции, сама является вычислимой.

5. Формирование операторов над функциями определяет алгоритм вычислений.

Пример простейших вычислимых функций:

1. Функция следования: S = x+1, где х – переменная.

2. Функция выбора:

Iⁿ_m (x₁, x₂, x₃,…, x_n ) = { x_m }, m

Функция выбора предполагает выделение из некоторого множества аргументов (x₁, x₂, x₃,…, x_n ) некоторого подмножества, входящего в указанное множество { x_m },

{ x_m } { x_i }, m , i =

Функции называются вычислимыми по определению, когда не содержат в себе других вычислимых функций.

7.2 Суперпозиция вычислимых функций Задание области определения для оператора суперпозиции вычислимых функций

Имеется n частных функций (например, вычислимых по определению). Каждая из функций задана для m переменных. Т.о. -частичная функция. Обозначим через область возможных значений j-ой переменной, входящей в i-ую вычислимую функцию ( ) . Тогда

область определение значений функции ( ).

Также определена функция (n-местным) с областью возможных значений в виде:

Для простоты, можно предположить, что . На основе введенной функции f формируется функция (со значением в ) в виде:

.

Суперпозиция функций позволяет определить функцию .

Таким образом, функциональный терм определяет функцию .

Процесс формирования функционального терма и получение функции комментирует Рис. 6.

Рисунок 6–Процесс формирования функции

В результате функция вычисляется функциональным термом (Рисунок 6). Переменные определяют (представляют собой) промежуточные величины.

В ходе рассуждений, таким образом, определены простейшие вычислимые функции. Вычислимость этих функций является очевидной (в силу вычислимости функций ) ) и . Алгоритм вычисления функции имеет вид:

Пример реализации суперпозиции функций. (Программа P).