Задача № 7

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:

	2	4
	0,7	0,3

	–1	0	25
	0,4	0,1	0,5

Составить закон распределения их суммы – случайной величины Z = X +Y, и проверить вы­полнение свойства математического ожидания: M(X + Y) = M(X) + M(Y)

Решение

Представим новую случайную величину как Z=X+Y и найдём её.

Для этого составим вспомогательную таблицу:

X+Y	yj	–1	0	25
xi	pi pj	0,4	0,1	0,5
2	0,7	1 0,28	2 0,07	27 0,35
4	0,3	3 0,12	4 0,03	29 0,15

Таблица заполняется следующим образом: в каждой клетке таблицы в левом углу находится значение суммы х_i+y_j , а в правом углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей p_i и p_j .

Мы видим, что среди значений повторяющихся нет. Следовательно, закон распределения новой случайно величины Z будет иметь вид:

	1	2	3	4	27	29
	0,28	0,07	0,12	0,03	0,35	0,15

Теперь найдём сначала математические ожидание исходных величин, затем математическое ожидание полученной случайной величины и по свойствам математических ожиданий сравним их.

Математическое ожидание M[X]:

M[X] = 20,7 + 40,3 = 2,6

Математическое ожидание M[Y]:

M[Y] = (–1)0,4 + 00,1 + 250,5 = 12,1

Математическое ожидание M[Z]:

M[Z] = 10,28 + 20,07 + 30,12 + 40,03 + 270,35 + 290,15 = 14,7

По свойствам математических ожиданий – математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют.

Записываем математическое ожидание величины Z в соответствии с этим свойством:

M[Z] = M[X] + M[Y] = 2,6 + 12,1 = 14,7

Следовательно, данное свойство выполняется.

Задача №8

Задана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение, большее 24,3, но меньшее 24,7. Найти плотность вероятности распре­деления случайной величины X и ёё дисперсию.

Решение

Для вычисления вероятности того, что величина X примет значение, большее 24,3, но меньшее 24,7, воспользуемся общей формулой:

где F(x) – функция распределения величины X

Найдём плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x). Плотность распределения f(x) тогда будет:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача № 9

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потреби­тель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 9/40. Составить закон распределения случайной величины X – числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа поло­жительных отзывов среди 3-х опрошенных.

Решение

Вероятность положительного отзыва равна

С помощью схемы Бернулли составляем закон распределения:

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

где – число сочетаний из n по m:

Найдем ряд распределения X.

P₃(0) = (1 – p)ⁿ = (1– 0,6)³ = 0,064

P₃(1) = np(1 – p)^n-1 = 3(1 – 0,6)^3-1 = 0,288

P₃(3) = pⁿ = 0,6³ = 0,216

Математическое ожидание:

M[X] = np = 3·0,6 = 1,8

Дисперсия:

D[X] = npq = 3·0,6·(1 – 0,6) = 0,72

Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

xi	0	1	2	3
pi	0,064	0,288	0,432	0,216

Математическое ожидание M[X].

M[X] = 0·0,064 + 1·0,288 + 2·0,432 + 3·0,216 = 1,8

Дисперсия D[X].

D[X] = 0,064·(0-1,8)² + 0,288·(1-1,8)² + 0,432·(2-1,8)²+0,216(3-1,8)²=2,482567

Среднее квадратическое отклонение σ(x):