Задача № 4

Имеются две урны. В первой лежат N₁ = 29 белых и N₂ = 34 чёрных шаров; во второй находятся M₁ = 16 белых и M₂ = 31 чёрных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают один шар.

Какова вероятность после этого вынуть:

а) белый шар из I урны.

б) белый шар из II урны.

Решение

При перекладывании шара из первой урны во вторую возможны следующие варианты: 

1) событие B₁ – переложили белый шар:

2) событие B₂ – переложили чёрный шар:

Обозначим события:

1) событие A₁ – вынули белый шар из I урны после перекладывания шара.

2) событие A₂ – вынули белый шар из II урны после перекладывания шара.

Далее рассмотрим следующие варианты:

Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то в первой урне будет N₁ – 1 белых и N₂ чёрных шаров. Во второй же урне будет M₁ + 1 белых и M₂ чёрных шаров.

Тогда вероятность, что белый шар будет вынут из первой урны, равна:

А вероятность того, что белый шар будет вынут из второй урны, равна:

Если из первой во вторую урну переложили чёрный шар, то в первой урне будет N₁ белых и N₂ – 1 чёрных шаров. А во второй урне будет M₁ белых и M₂ + 1 чёрных шаров.

Тогда вероятность того, что белый шар будет вынут из первой урны, равна:

А вероятность того, что белый шар будет вынут из второй урны, равна:

Тогда, по формуле полной вероятности находим вероятность того, что выбранный белый шар был из первой урны, будет:

Вероятность того, что выбранный белый шар был из второй урны, равна:

Задача № 5

На I складе имеется N₁ = 34 изделий, из которых M₁ = 3 бракованных; на II складе находятся N₂ = 39 изделий, из которых M₂ = 5 бракованных. Из каждого склада выбирается по одному изде­лию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказа­лось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение

Пусть имеют место следующие события:

A – изделие является качественным;

B₁ – изделие из I склада, выбранное из пары;

B₂ – изделие из II склада, выбранное из пары;

Вероятности выбрать изделие с I или со II склада из пары:

Условные вероятности по классическому определению вероятности:

Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:

По формуле Байеса вычисляем вероятность того, что небракованное изделие оказалось с I склада:

Задача №6

Среди N = 27 часов, поступивших в ремонт, M = 2 с поломками оси. Наудачу взяты ча­сов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых K часов. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить её график.

Решение

Найдём вероятность того, что среди выбранных K часов x часов имеет поломку оси. По классическому определению вероятности

Число способов выбрать в любом порядке K часов из N часов, равно:

А число способов выбрать в любом порядке x неисправных часов из общего количества M неисправных часов и соответственно в любом порядке K – x исправных часов из общего количества N – M исправных часов, равно:

Тогда искомая вероятность того, что среди выбранных K часов x часов имеет поломку оси, равна: Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одни часы среди 2 часов с поломками оси можно выбрать способами, количество которых равно:

Находим вероятности для 0  x  M в данной задаче:

Составим ряд распределения x_i и p_i = P(x_i), 0  x_i  M:

xi	0	1	2
pi	92/117	24/117	1/117

Математическое ожидание находим по формуле .

Математическое ожидание M[X].

M[X] = 0  92/117 + 1  24/117 + 2  1/117 = 26/117 = 0,22222

Дисперсию находим по формуле .

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²  92/117 + 1²  24/117 + 2²  1/117 – (26/117)² = 2600/117² = 0,18993

Среднее квадратическое отклонение σ(x):

Находим функцию распределения:

F(x  0) = 0

F(0 < x  1) = 92/117 = 0,786325

F(1 < x  2) = 92/117 + 24/117 = 116/117 = 0,991453

F(x > 2) = 1

Функция распределения F(X).

График функции распределения:

Многоугольник распределения