Задача № 18

Проведена серия из 30 экспериментов со случайной величиной X. По результатам на­блюдений получена выборка значений этой случайной величины. Эта выборка имеет вид: 10; 15; 11,5; 16; 12,5; 10; 13; 14; 10,5; 12; 14; 13; 10,5; 15,5; 14,5; 13; 13; 10; 13,5; 13; 11,5; 16;11; 14; 15; 12; 13; 10; 13; 12,5.

По данной выборке требуется:

1) построить интервальный вариационный ряд, опреде­лив количество групп по формуле Стерджесса;

2) определить численное значение моды Mo и медианы Me ;

3) дать графическое изображение ряда в виде гистограммы частот, полигона и кумуляты:

4) построить выборочную функцию распределения;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смешенную и несмещенную оценки генеральной дис­персии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответст­вующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Число групп приближенно определяется по формуле Стэрджесса

n = 1 + 3,2log n

n = 1 + 3,2log(30) = 6

Решение.

Ширина интервала составит:

;

X_max - максимальное значение группировочного признака в совокупности.

X_min - минимальное значение группировочного признака.

Определим границы группы.

Номер группы	Нижняя граница	Верхняя граница
1	10	11
2	11	12
3	12	13
4	13	14
5	14	15
6	15	16

Одно и тоже значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп.

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

10	10 - 11	1
10	10 - 11	2
10	10 - 11	3
10	10 - 11	4
10,5	10 - 11	5
10,5	10 - 11	6
11	10 - 11	7
11,5	11 - 12	1
11,5	11 - 12	2
12	11 - 12	3
12	11 - 12	4
12,5	12 - 13	1
12,5	12 - 13	2
13	12 - 13	3
13	12 - 13	4
13	12 - 13	5
13	12 - 13	6
13	12 - 13	7
13	12 - 13	8
13	12 - 13	9
13,5	13 - 14	1
14	13 - 14	2
14	13 - 14	3
14	13 - 14	4
14,5	14 - 15	1
15	14 - 15	2
15	14 - 15	3
15,5	15 - 16	1
16	15 - 16	2
16	15 - 16	3

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Группы	№ совокупности	Частота fi
10 - 11	1,2,3,4,5,6,7	7
11 - 12	8,9,10,11	4
12 - 13	12,13,14,15,16,17,18,19,20	9
13 - 14	21,22,23,24	4
14 - 15	25,26,27	3
15 - 16	28,29,30	3

Таблица для расчета показателей.

Группы	xi	Кол-во, fi	xi · fi	Накопленная частота, S	|x – xср|·f	(x – xср)2·f	Частота, fi/n
10 - 11	10,5	7	73,5	7	14,23	28,94	0,23
11 - 12	11,5	4	46	11	4,13	4,27	0,13
12 - 13	12,5	9	112,5	20	0,3	0,01	0,3
13 - 14	13,5	4	54	24	3,87	3,74	0,13
14 - 15	14,5	3	43,5	27	5,9	11,6	0,1
15 - 16	15,5	3	46,5	30	8,9	26,4	0,1
Итого		30	376		37,33	74,97	1

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

где x₀ – начало модального интервала; h – величина интервала; f₂ –частота, соответствующая модальному интервалу; f₁ – предмодальная частота; f₃ – послемодальная частота.

Выбираем в качестве начала интервала 12, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 12,5

Медиана.

Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Медианным является интервал 12 - 13, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 12.44

Гистограмма

Полигон

Средняя взвешенная

Среднее линейное отклонение – вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

;

Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1,24

Дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

;

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

;

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12,53 в среднем на 1,58

Находим выборочную функцию распределения и строим ее график.

Вычислим объем выборки: n=7+4+9+4+3+3=30.

Наименьшая варианта равна: x1=10,5, поэтому F*(x)=0 при x≤10,5.

Значения X<11,5, а именно: x₁=10,5, наблюдались 7 раз, следовательно, F*(x)=7/30=0,233 при 10,5< x≤11,5.

Значения X<12,5, а именно: x₁=10,5, x₂=11,5, наблюдались 11 раз, следовательно, F*(x)=11/30=0,367 при 11,5< x≤12,5.

Значения X<13,5, а именно: x1=10,5, x2=11,5, x3=12,5, наблюдались 20 раз, следовательно, F*(x)=20/30=0,667 при 12,5< x≤13,5.

Значения X<14,5, а именно: x₁=10,5, x₂=11,5, x₃=12,5, x₄=13,5, наблюдались 24 раз, следовательно, F*(x)=24/30=0.8 при 13,5< x≤14,5.

Значения X<15,5, а именно: x₁=10,5, x₂=11,5, x₃=12,5, x₄=13,5, x₅=14,5, наблюдались 27 раз, следовательно, F*(x)=27/30=0,9 при 14,5< x≤15,5.

Т.к. X=15,5 — наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>15,5