Задача № 16

В результате измерения массы большого числа яблок некоторого сорта установлено, что масса одного яблока лежит в пределах от 109 до 290 граммов. Считая, что масса яблока - случайная величина, имеющая нормальное распределение, и используя пра­вило «трех сигм», найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение массы яблока. Найти вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 209 граммов.

Решение

При нормальном распределении

Где х₁=109; х₂=290; а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение.

Решив систему уравнений, получили а=199,5, σ=90,5

По правилу «трех сигм» находим вероятность того, что масса случайно выбранного яблока больше 209 граммов, то есть .

Задача № 17

Проведена серия из 15 экспериментов со случайной величиной X. Но результатам на­блюдений получена выборка значений этой случайной величины.

14; 12; 13; 11; 11; 13; 13; 14; 11; 15; 12; 13; 10; 12; 13

Но данной выборке требуется:

1) построить дискретный вариационный ряд;

2) опре­делить численное значение моды Мо и медианы Ме;

3) построить ряд распределения частот

4) построить выборочную функцию распределения и ее график;

5) найти несмещенную оценку генеральной средней;

6) найти смещенную и несмещенную оценки генеральной дис­персии (т.е. выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию) и соответст­вующие оценки среднего квадратичного отклонения.

Решение

Построим дискретный вариационный ряд. Для этого отсортируем ряд по возрастанию и подсчитаем количество повторения для каждого элемента ряда.

Таблица для расчета показателей.

xi	Кол-во, fi	xi · fi	Накопленная частота, S	|x – xср|·f	(x – xср)2·f	Частота, fi/n
10	1	10	1	2,47	6,08	0,0667
11	3	33	4	4,4	6,45	0,2
12	3	36	7	1,4	0,65	0,2
13	5	65	12	2,67	1,42	0,33
14	2	28	14	3,07	4,7	0,13
15	1	15	15	2,53	6,42	0,0667
Итого	15	187		16,53	25,73	1

Мода.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Максимальное значение повторений при x = 13 (f = 5). Следовательно, мода равна 13

Медиана.

Медианой (Me) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Находим x_i, при котором накопленная частота S будет больше . Это значение x_i = 13. Таким образом, медиана равна 13

Найдем выборочную(эмпирическую функцию распределения и построим ее график).

Объем выборки: n=1+3+3+5+2+1=15.

Наименьшая варианта равна: x1=10, поэтому F*(x)=0 при x≤10.

Значения X<11, а именно: x₁=10, наблюдались 1 раз, следовательно, F*(x)=1/15=0,067 при 10< x≤11.

Значения X<12, а именно: x₁=10, _x2=11, наблюдались 4 раз, следовательно, F*(x)=4/15=0,267 при 11< x≤12.

Значения X<13, а именно: x₁=10, x₂=11, x₃=12, наблюдались 7 раз, следовательно, F*(x)=7/15=0,467 при 12< x≤13.

Значения X<14, а именно: x₁=10, x₂=11, x₃=12, x₄=13, наблюдались 12 раз, следовательно, F*(x)=12/15=0,8 при 13< x≤14.

Значения X<15, а именно: x₁=10, x₂=11, x₃=12, x₄=13, x₅=14, наблюдались 14 раз, следовательно, F*(x)=14/15=0_.933 при 14< x≤15.

Т.к. X=15 — наибольшая варианта, то F*(x)=1 при x>15

Выборочная функция распределения:

График выборочной функции распределения:

Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

;

Несмещенная оценка дисперсии – состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

;

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 12,47 в среднем на 1,31 .