Задача № 11

К киоску в среднем подходят 9 покупателей в час. Считая поток покупателей про­стейшим, найти вероятность того, что за 2 часа к киоску подойдет:

а) менее 2 покупателей;

б) хотя бы 1 покупатель.

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа покупателей за 1 час.

Решение

Интенсивность потока – . Параметр распределения Пуассона: . Используя формулу Пуассона, находим искомые вероятности: ; По формуле Пуассона .

Тогда

Используем формулы для числовых характеристик распределения Пуассона:

; ;

Задача № 12

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна 0,002. Определить вероятность того, что в партии из 890 изделий окажется не более двух бракованных.

Решение

Не более двух – это либо ни одного, либо 1, либо 2.

Вероятность р=0,002 мала, а число n=890 велико, np = 1,78 < 10.

Значит, искомые вероятности этих значений можно найти по формуле Пуассона:

Здесь λ = np = 890·0,002 = 1,78

P(0) = e^{- λ} = e^-1.78 = 0,1686

P(1) = λe^-λ = 1,78e^-1.78 = 0,3002

По формуле сложения вероятностей находим вероятность, что в партии окажется не более двух бракованных изделий:

Задача № 13

При измерении большого земельного участка его длина округляется до ближайшего целого числа метров. Какова вероятность того, что возникающая при этом ошибка

а) не пре­высит 19 см;

б) будет лежать в пределах от 15 см до 60 см.

Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение ошибки округления.

Решение

В данном случае цена деления – 1 м. Ошибку округления отсчета можно считать распределенной равномерно на [0; 1], т.е. a = 0, b = 1. Тогда дифференциальная функция распределения f(x) будет иметь вид:

Отсюда, в нашем случае:

Вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная в интервале (α, β), принадлежащем [a, b], выражается формулой:

Вероятность того, что ошибка не пре­высит 19 см, то есть 0,19 м.:

Вероятность того, что ошибка будет лежать в пределах от 15 см до 60 см., то есть от 0,15 до 0,6 м.

Находим математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Задача № 14

К киоску покупатели подходят в среднем через каждые 9 минут. Киоск начинает ра­боту в 9 часов утра. Считая поток покупателей простейшим, найти вероятность того, что ме­жду 3 и 4 покупателем (от начала рабочего дня) пройдет: а) не менее 11 минут» б) от 10 до 12 минут. Найти математическое ожидание и дисперсию времени от 10 часов утра до первого после этого времени покупателя.

Решение

Интенсивность нагрузки

Интенсивность нагрузки ρ=0 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Время обслуживания

Вероятность:

;

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки.

ρ = λ · t_обс = 1/9 • 11 = 0

Вероятность

Задача № 15

Случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 18 и средним квадратическим отклонением 9. Найти вероятность того, что ее значение

а) будет отрицательным:

б) будет лежать в пределах от -1 до 3;

в) будет отличаться от среднего не более чем на 2.

Решение

Вероятность, что данная случайная величина будет отрицательной, то есть меньше нуля:

Вероятность, что данная случайная величина будет лежать в пределах от -1 до 3

Вероятность, что данная случайная величина будет отличаться от среднего не более чем на 2