Задача №8

Задана функция распределения непрерывной случайной величины X:

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение, большее 6,3, но меньшее 6,7. Найти плотность вероятности распре­деления случайной величины X и се дисперсию.

Решение

Для вычисления вероятности того, что величина X примет значение, большее 6,3, но меньшее 6,7воспользуемся общей формулой:

где F(x) – функция распределения величины X

Найдем плотность распределения f(x), как производную от функции распределения F(x):

Плотность распределения f(x) тогда будет:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача № 9

Производится телефонный опрос потребителей некоторой продукции. Каждый потреби­тель не зависимо от других может дать положительный отзыв о продукции с вероятностью 9/40. Составить закон распределения случайной величины X – числа положительных отзывов среди 3-х опрошенных потребителей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа поло­жительных отзывов среди 3-х опрошенных.

Решение

Вероятность положительного отзыва равна

С помощью схемы Бернулли составляем закон распределения:

Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:

где – число сочетаний из n по m:

Найдем ряд распределения X.

P₃(0) = (1 – p)ⁿ = (1– 0,225)³ = 0,4655

P₃(1) = np(1 – p)^n-1 = 3(1 – 0,225)^3-1 = 0,4054

P₃(3) = pⁿ = 0,225³ = 0,01139

Математическое ожидание:

M[X] = np = 3·0,225 = 0,675

Дисперсия:

D[X] = npq = 3·0,225·(1 – 0,225) = 0,523125

Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

xi	0	1	2	3
pi	0,4655	0,4054	0,1177	0,01139

Математическое ожидание M[X].

M[X] = 0·0,4655 + 1·0,4054 + 2·0,1177 + 3·0,01139 = 0,675

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²·0,4655 + 1²·0,4054 + 2²·0,1177 + 3²·0,01139 – 0,675² = 0,523

Среднее квадратическое отклонение σ(x):

Задача № 10

В большой партии телевизоров 9 процентов бракованных. При продаже телевизоры проверяются по одному до тех пор, пока не будет найден качественный телевизор. При этом бракованные телевизоры отправляются обратно на завод. Какова вероятность того, что на завод будет отправлено: а) более 3 телевизоров; б) от 4 до 6 телевизоров. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа проверенных телевизоров.

Решение

Вероятность появления бракованного телевизора в каждом случае равна 0,09.

Исходные данные: p = 0,09, q = 1 – p = 1 – 0,09 = 0,91

Формула Бернулли:

Событие наступит более 3 раз.

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит более k раз равна:

P(x > k) = P_n(k+1) + P_n(k+2) + ... + P_n(n)

P(x > 3) = pⁿ = 0,09³ = 0,000729

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит не менее 4 и не более 6 раз равна: P(k₁ ≤ x ≤ k₂) = P_n(k₁) + P_n(k₁+1) + ... + P_n(k₂)

P(4 ≤ x ≤ 6) = 0.000815 + 0,000032 + 0,000000531 = 0,00084774681