Задача № 5

На I складе имеется 19 изделий, из которых 3 бракованных; на II складе находятся 24 изделие, из которых 5 бракованных. Из каждого склада выбирается но одному изде­лию случайным образом. После чего из этой пары отбирается одно изделие, которое оказа­лось небракованным. Какова вероятность, что это изделие из I склада?

Решение

Качественных деталей на первом складе – 19 – 3=16; на втором складе 24 – 5=19.

Пусть имеют место следующие события:

A — изделие окажется качественным;

H₁ — изделие из продукции 1-го склада;

H₂ — изделие из продукции 2-го склада;

Вероятность что выбранное изделие с 1-го склада:

Вероятность что выбранное изделие со 2-го склада:

Условные вероятности заданы в условии задачи:

Вероятность события A вычисляем по формуле полной вероятности:

P(A) = P(A|H₁)P(H₁) + P(A|H₂)P(H₂) = 0,442·0,8421 + 0,558·0,7917 = 0,814

По формуле Байеса вычисляем вероятность того, что изделие окажется с первого склада:

Задача №6

Среди 12 часов, поступивших в ремонт, 2 с поломками оси. Наудачу взяты 3 ча­сов. Составить ряд распределения числа часов с поломками оси среди взятых трех. Найти функцию распределения дискретной случайной величины. Построить се график.

Решение

Всего исправных часов: 12 – 2 = 10

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов нет с поломками оси.

1. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов одни с поломками оси.

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь трое часов из 12:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одни часы среди 2 часов с поломками оси можно выбрать способами, количество которых равно:

б) Остальные двое исправных часов можно выбрать из 10 исправных:

Аналогично:

2. Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 часов 2 с поломками оси.

xi	0	1	2
pi	0,545	0,409	0,046

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_ip_i.

Математическое ожидание M[X].

M[X] = 0·0,545 + 1·0,409 + 2·0,046 = 0,501

Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_ip_i – M[x]².

Дисперсия D[X].

D[X] = 0²·0,545 + 1²·0,409 + 2²·0,046 – 0,501² = 0,342

Среднее квадратическое отклонение σ(x):

Находим функцию распределения:

F(x≤0) = 0

F(0< x ≤1) = 0,545

F(1< x ≤2) = 0,409 + 0,545 = 0,954

F(x>2) = 1

Функция распределения F(X).

График функции распределения:

Многоугольник распределения

Задача № 7

Даны независимые случайные величины X и Y заданы своими рядами распределений:

	2	4
	0,7	0,3

	– 1	0	10
	0,4	0,1	0,5

Составить закон распределения их суммы - случайной величины /. X+Y и проверить вы­полнение свойства математического ожидания: M(X+Y)=M(X) + M(Y)

Решение

Представим новую случайную величину как Z=X+Y и найдем ее.

Для этого составим вспомогательную таблицу:

X+Y	yj	–1	0	10
xi	pi pj	0,4	0,1	0,5
2	0,7	1 0,28	2 0,07	12 0,35
4	0,3	3 0,12	4 0,03	14 0,15

Таблица заполняется следующим образом: в каждой клетке таблицы в левом углу находится значение суммы х_i+y_j , а в правом углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей p_i и p_j .

Мы видим, что среди значений повторяющихся нет. Следовательно, закон распределения новой случайно величины Z будет иметь вид:

	1	2	3	4	12	14
	0,28	0,07	0,12	0,03	0,35	0,15

Теперь найдем сначала математические ожидание исходных величин, затем математическое ожидание полученной случайной величины и по свойствам математических ожиданий сравним их.

Математическое ожидание M[X].

M[x] = 2·0,7 + 4·0,3 = 2,6

Математическое ожидание M[Y].

M[y] = (– 1) ·0,4 + 0·0,1 + 10·0,5 = 4,6

Математическое ожидание M[Z].

M[z] = 1·0,28 + 2·0,07 + 3·0,12 + 4·0,03 + 12·0,35 + 14·0,15 = 7,2

По свойствам математических ожиданий – математическое ожидание суммы любых случайных величин равно сумме их математических ожиданий, если только эти математические ожидания существуют.

Записываем математическое ожидание величины Z в соответствии с этим свойством:

M[z]=M[x]+M[y]=2,6+4,6=7,2

Следовательно, данное свойство выполняется.