2.2. Символический метод расчета цепей синусоидального тока

Так как синусоидальный переменный ток является функцией периодической, его можно рассматривать как «стационарный» процесс. В большинстве случаев оказывается достаточным знать амплитуды токов и напряжений, а также фазовые сдвиги между ними, не интересуясь их мгновенными значениями. На комплексной плоскости это означает, что можно перейти во вращающуюся систему координат, сделав векторы U_m и I_m «неподвижными». При этом в комплексном представлении токов и напряжений убираются переменные составляющие фаз

, . (2.2.1)

Из уравнения 2.1.4 видно, что цепь переменного синусоидального тока (подобно цепям постоянного тока) может быть описана алгебраическим уравнением с той лишь разницей, что все физические величины (токи, напряжения, сопротивления) представляются в виде комплексных чисел. Это означает, что к цепям переменного синусоидального тока можно применить все методы расчета электрических цепей, рассмотренные для цепей постоянного тока.

Сформулированный подход обычно называют методом комплексных амплитуд, или символическим методом расчета электрических цепей. Этот метод кратко можно охарактеризовать следующим образом:

0.  Синусоидальные функции токов и напряжений заменяются комплексными числами.

1.  Дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими, в которых токи, напряжения, сопротивления, проводимости представлены в виде комплексных чисел.

2.  Токи и напряжения рассматриваются вне времени (в показателях экспонент отбрасываются переменные составляющие фаз  t), на комплекс­ной плоскости амплитуды токов и напряжений изображаются неподвижны­ми векторами.

3.  Результаты решений получают в виде комплексных чисел. Чтобы получить реальные значения токов и напряжений, берут мнимые части комплексных чисел и в аргумент добавляют переменную  t.

Рис. 2.2.1

Расчет цепей синусоидального перемен­ного тока обычно сопровождается изображением амплитуд токов и напряжений на комплексной плоскости, что позволяет придать решению наглядный вид и избежать грубых ошибок.

Задача 2.2.1. На рис. 2.2.1 L = 0,032 Гн, С = 6,36  10^4 Ф, E(t) = 10 sin(250t) B, R = 10 Ом. Найти токи во всех ветвях цепи.

Решение. Найдем комплексные сопротивления ветвей:

 Ом,

 Ом.

Найдем комплексные значения токов в ветвях:

А;

А;

А;

.

Рис. 2.2.2

Реальные токи в ветвях:

 А;

 А;

 А;

 А.

Рис. 2.2.3

На рис. 2.2.2 показана комплексная плоскость с изображением амплитуд токов ветвей.

Задача 2.2.2. На рис. 2.2.3 L = 0,048 Гн, E(t) = 10 sin(2  50 t) В, C = 6,3610^4 Ф, R = 10 Ом.

Найти ток и падение напряжений на элементах цепи.

Решение:

X_L = j  L = j 2  500,048 = j 15 Ом;

X_C = – j 5 Ом ;

Z = R+ X_L + X_C = 10 + j 15 –j 5 = (10 + j10) Ом.

Р

k

ис. 2.2.4

 А;

 В;

 В;

 В.

На рис. 2.2.4 показана комплексная плоскость с изображением амплитуд токов ветвей.

Задача 2.2.3. На рис. 2.2.5  В,  В, R₁ = R₂ = R₃ = 10 Ом, X₁ = j 10 Ом, X₂ = j 20 Ом, X₃ = – j 10 Ом.

Рис. 2.2.5

Найти ток в резисторе R_2. Воспользоваться методом эквивалентного гене­ратора.

Решение. Разомкнем ветвь АВ:

 В;

 Ом;

 В;

 Ом;

Примечание: так же как и в цепях постоянного тока, направление э.д.с. источника указывается стрелкой. Однако смысл этой стрелки иной – стрелка изображает, как была измерена фаза источника.

Фазометр есть устройство сравнения двух фаз и имеет два входа: один вход для опорного напряжения, другой – для измеряемого. В качестве опорного напряжения берется напряжение одного из источников цепи, его фаза принимается равной нулю. Входы фазометра имеют нулевые и потенциальные клеммы.

Рис. 2.2.6

Стрелки на схеме у источников показы­вают, куда были подключены нулевые и потенциальные клеммы фазо­метра при измерении фазы.

Задача 2.2.4. На рис. 2.2.6 X₁ = X₂ = j 10 Ом, X₄ = X₅ = – j 10 Ом, R₁ = R₂ = R₃ = R₆ = 10 Ом, X₆ = j 20 Ом,  В,  В,  В. Найти ток в резисторе R₆. Применить метод контурных токов.

Решение. Составим систему уравнений, пользуясь правилами параграфа 1.3.4:

,

,

.

Сделаем сокращения:

представим систему в матричной форме

.

Для нахождения тока I₃₃ воспользуемся правилом Крамера:

 А.

Задача 2.2.5 (для самостоятельного решения). Решить задачу 2.2.3 (рис. 2.2.5), используя метод узловых потенциалов. Какой из двух методов решения предпочтительнее для решения этой задачи?