1.3.7. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

В электрических цепях имеют большое распространение структуры из трех ветвей в виде трехлучевой звезды и треугольника. Рассмотрим, в частности, эти фигуры, состоящие из резисторов: звезду сопротивлений и треугольник сопротивлений (рис. 1.3.14).

При расчете электрических цепей часто оказывается целесообразным участок цепи, имеющий структуру звезды сопротивлений, преобразовать в треугольник сопротивлений, или наоборот, что позволяет иногда существенно упростить расчет цепи. Внешние, окружающие фигуру элементы цепи «не замечают» подобных преобразований, ибо потенциалы звезды и треугольника в процессе преобразования остаются неизменными.

Задача 1.3.16 (рис. 1.3.14). Осуществить переход от звезды к треуголь­нику, что означает необходимость выразить резисторы R₁₂, R₂₃, R₁₃ треугольника через величины резисторов R₁, R₂, R₃ звезды. Такой переход можно осуществить, используя метод узловых потенциалов.

Рис. 1.3.14

Решение. Для звезды (ее единственного узла при потенциале ) запишем уравнение

I₁ + I₂ + I₃ = 0. (1.3.14.1)

Выразим токи I₁, I₂, I₃ через потенциалы и проводимости резисторов:

I₁ = (₁ ‑ ₀) g₁; I₂ = (₂ ‑ ₀) g₂; I₃ = (₃ ‑ ₀) g₃.

Схема треугольника отличается от схемы звезды отсутствием потенциала ₀, поэтому в процессе преобразования необходимо избавиться от потенциала ₀, выразив его через другие потенциалы. Подставим значения I₁, I₂, I₃ в исходное уравнение (1.3.14.1) и решим его относительно₀:

.

Теперь в выражениях для токов I₁, I₂, I₃ можно избавиться от потенциала ₀. Например, для тока I₁

(1.3.14.2.)

Выразим теперь ток I₁ через токи треугольника

(1.3.14.3)

Сравним уравнения (1.3.14.2) и (1.3.14.3). Они состоят из трех членов с потенциалами ₁, ₂, ₃. Полагая, что эти потенциалы одинаковы в обеих схемах, приходим к выводу, что коэффициенты при них так же должны быть равны:

. (1.3.14.4)

Аналогично можно найти g₂₃:

.

Полученные выражения легко запоминаются, если заметить их следующие свойства:

а) в знаменателе всех выражений стоит сумма проводимостей звезды,

б) в числителе стоят проводимости звезды, прилегающие к соответствую­щей проводимости треугольника (см. рис. 1.3.14).

Задача 1.3.17. Осуществить переход от треугольника к звезде, что означает необходимость выразить резисторы звезды через величины резисторов треугольника. Такое преобразование треугольника в звезду можно осуществить следующим образом: выразим, например, выражения (1.3.14.4) через сопротивления:

(1.3.14.5)

Аналогично ; , где , откуда

; ; . (1.3.14.6)

Подставив (1.3.14.6) в (1.3.14.5), получим

,откуда

.

Рис. 1.3.15a

Подставив значение m в (1.3.14.6), найдем

,

,

.

Задача 1.3.18 (для самостоятельного реше­ния). На рис. 1.3.15a R_н =R, R₁ = R₂ = R₃ =R, R₁₂ = R₂₃ = R₁₃ = 3R. Найти ток в нагрузке R_н. Решение рекомендуется осу­ществить путем преобразования звезды резисторов R₁, R₂, R₃ в треугольник резисторов.

§2. Электрические цепи синусоидального переменного тока

2.1. Синусоидальный ток и его основные характеристики

Рис. 2.1.1

Ток, изменяющийся по синусоидальному закону , называется синусоидальным перемен­ным током. Эта форма тока является простейшей из переменных перио­ди­ческих токов с точки зрения метода гармонического анализа, кото­рый утверждает, что любой ток произ­воль­ной формы может быть представ­лен суммой токов синусои­дальной формы.

Ток может быть изображен графи­чес­ки на временной шкале (рис. 2.1.1).

Синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величи­нами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой. Амплитуда I_m есть максимальное значение функции. Аргумент функции назы­ва­ют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени t.

Коэффициент , называемый круговой (угловой) частотой, характеризует скорость нарастания фазы, ₀ – начальная фаза при t = 0.

Иногда фазу представляют через частоту f или период T:

. (2.1.1)

Переменные синусоидальные токи и напряжения удобно изображать также на т. н. комплексной плоскости в виде вектора , вращающегося со скоростью  (рис. 2.1.2):

, (2.1.2)

Рис. 2.1.2

где синусоидально изменяющийся ток пред­ставляется мнимой частью комплекс­ного чис­ла , т. е. проекцией вектора на ось +j. Такой подход можно рассматривать как формальный матема­тический прием, позво­ляющий исполь­зовать алгебру комп­лекс­ных чисел при расчетах цепей синусоидального перемен­ного тока.

Известно, что в электрической цепи любой электрический процесс может быть описан системой дифференциальных уравнений. Например, для цепи, состоящей из последовательного соединения E, R, L, C можно написать уравнение Кирхгофа в дифференциальной форме:

. (2.1.3)

Очевидно, что это уравнение справедливо и для частного случая – синусоидального переменного тока. Подставим в него выражение (2.1.2.) для тока:

. (2.1.4)

Рис. 2.1.3

Основное отличие синусоидального переменного тока от тока постоянного заключается в том, что индуктивности и емкости, присутствующие в электрических цепях, оказывают на него воздействие в виде реактивных сопротивлений (индуктивного j  L и емкостного 1 / j  C). Символ j означает, что эти сопротивления вызывают фазовый сдвиг между током и напряжением на 90 .

Рис. 2.1.4

На комплексной плоскости для цепи, изображенной на рис. 2.1.3, показаны векторы тока и падения напряжений на элементах L, C, R.

Из рис. 2.1.4 видно следующее:

0. Напряжение U_L на индуктивности опере­жает ток на 90 .

1. Напряжение U_C на емкости отстает от тока на 90 .

2. Между напряжениями U_L и U_C имеет место фазовый сдвиг 180 .

3. Напряжение U_R на сопротивлении совпадает по фазе с током.

Следует оговориться, что L и C предполага­ют­ся идеальными, т. е. в них отсутствуют потери электрической энергии.