1.3.5. Метод узловых потенциалов

Рис. 1.3.11

Систему уравнений для сложной цепи можно построить, взяв в качестве неизвестных величин потенциалы узлов. Уравнения составляются по перво­му закону Кирхгофа. Число урав­нений в системе равно N – 1, где N – число узлов цепи. Найдя узловые по­тен­циалы, далее находят токи вет­вей, используя закон Ома.

Задача 1.3.12. Составить систему уравнений по методу узловых потен­­циа­лов для цепи, представ­лен­ной на рис. 1.3.11: R₁ = 6 Ом, E₁ = 15 В, R'₁ = 10 Ом, E'₁ = 5 В, R₂ = 5 Ом, E₂ = 70 В, R'₂ = 15 Ом, R₃ = 2,5 Ом. Найти токи ветвей.

Решение.

1. Задаются направления токов в ветвях, направления могут быть произвольны, конечный вид системы уравнений не зависит от выбранных направлений.

2. Число узлов в цепи три, т. о. необходимо составить два уравнения:

I₁ + I'₁ – I₂ – I'₂ = 0;

I₂ + I'₂  – I₃ = 0.

3. Все узлы цепи обозначим потенциалами ₁, ₂, … _N. Так как важно знать разность потенциалов между узлами, один из них можно принять равным нулю, например ₀ = 0.

4. Ток каждой ветви можно выразить теперь через введенные потенциалы и элементы ветвей. Для придания определенных знаков токам ветвей, э.д.с. и потенциалам выбирается направление движения от одного узла к другому. Далее можно следовать условным правилам, например:

если направление тока ветви совпадает с направлением движения от узла к узлу, берем его со знаком «плюс», если нет – со знаком «минус»;

если направление э.д.с. совпадает с направлением движения от узла к узлу, берем его со знаком «плюс», если нет – со знаком «минус».

Для получения разности потенциалов вычитать, например, из предыдущего потенциала последующий потенциал, по ходу движения от узла к узлу.

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  .

Полученные выражения подставим в систему уравнений

^1. 

2.  .

Приведем уравнения к каноническому виду

;

.

Представим систему в матричной форме

_.

Отметим следующие закономерности в системе уравнений:

0.  члены главной диагонали матрицы проводимостей представляют собой сумму проводимостей ветвей, сходящихся в узле.

1.  Остальные члены матрицы проводимостей представляют собой сумму проводимостей ветвей, соединяющих узлы взятых c отрицательным знаком.

3. матрица проводимостей симметрична относительно главной диагонали.

4. Члены матрицы в правой части равенства есть токи короткого замыкания ветвей, соединяющих узлы; их знаки определяются направлением э.д.с. в ветви. При направлении э.д.с. в сторону движения – «плюс», против движения – «минус».

Отмеченные закономерности позволяют проверить правильность составления системы уравнений. Их можно использовать так же как правила составления системы уравнений в матричной форме непосредственно.

Найдем потенциалы узлов, используя правило Крамера:

; ,

где | Y | определитель матрицы проводимостей, |₁|, |₂| – определители, полученные заменой соответствующего столбца определителя | Y | столбцом токов короткого замыкания:

;

;

В; В.

Найдем токи ветвей:

; ; ; ; .

1.3.6. Сравнение метода контурных токов и метода узловых потенциалов

Из рассмотренных методов расчета электрических цепей наиболее эффективными и универсальными являются метод контурных токов и метод узловых потенциалов. Однако в конечном итоге выбор метода решения задачи определяется конкретными свойствами цепи. Одним из критериев выбора метода является количество уравнений, описывающих схему цепи (порядок системы уравнений). Продемонстрируем этот тезис на примере двух задач.

Рис. 1.3.12 Рис. 1.3.13

Задача 1.3.13 (рис. 1.3.12). Схема имеет три узла и четыре независимых контура. При использовании метода контурных токов необходимо составить систему из четырех уравнений, при использовании метода узловых потен­ци­алов требуется всего лишь два урав­не­ния. Очевидно, метод узловых потен­циалов в данной задаче предпочтителен.

Задача 1.3.14. В данной задаче (рис. 1.3.13), несмотря на кажущуюся сложность схемы, по методу контурных токов необходимо составить всего лишь одно уравнение, по методу узловых потенциалов – три уравнения. Таким образом, здесь удобнее использовать метод контурных токов.

Задача 1.3.15 (для самостоятель­ного решения). E₁ = 10 В, E₂ =  10 В, E₃ =  10 В, r₁ = r₂ = r₃ = 10 Ом, R₁ = R₂ = R₃ = 30 Ом (рис. 1.3.12).

Используя метод узловых потенци­а­лов, найти напряжения U_AB, U_BC, U_CA.