4. Формула Пуанкаре.

Предположим дополнительно, что кривая Γ (x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b) кусочно-гладкая, а векторное поле

Φ(x,y) = (φ(x,y),ψ(x,y))

непрерывно дифференцируемо в том смысле, что функции φ(x,y) и ψ(x,y) непрерывно дифференцируемы.

Пустьвектор

Φ(t) = (φ(x(t),y(t)),ψ(x(t),y(t)))

образуетсосьюабсциссуголα(t).Очевидно,

θ(t) = α(t) − α(a)

и

dθ = dα = darctg = . (1.14)

Отсюда вытекает, что

γ(Φ,Γ) = (θ(b) − θ(a)) =

то есть

γ(Φ,Γ) = (1.15)

Эта формула имеет смысл, так как знаменатель в подынтегральном выражении в нуль не обращается — вращение (как и угловая функция) определено лишь для непрерывных полей без нулевых векторов.

Если положить

φ(x(t),y(t)) = φ(t), ψ(x(t),y(t)) = ψ(t),

то формулу Пуанкаре (1.15) можно записать при помощи обыкновенного интеграла

γ(Φ,Γ) = dt.(1.16)

Для фактического вычисления вращения формула Пуанкаре малоудобна.

5. Вычисление вращения.

После введения параметра вычисление вращения поля на произвольной кривой сводится к вычислению вращения поля

Φ(t) = (P(t),Q(t))(1.17)

на некотором отрезке x = t, y = 0 (a ≤ t ≤ b). При вычислении вращения удобно отрезок [a,b] разбить на части так, чтобы вращение на каждой части вычислялось просто, а затем воспользоваться тем фактом, что вращение на всем отрезке равно сумме вращений на его частях. При вычислении вращения полезно иметь в виду, что вращение равно выраженному в единицах полного оборота наименьшему углу между векторами на концах кривой , если ни один вектор поля Φ(M) не направлен противоположно вектору Φ( ) в точке (если ни один вектор поля не направлен противоположно вектору Φ( ) в точке ). Для доказательства достаточно заметить, что в общем случае вращение отличается от угла между векторами Φ( ) и Φ( ) на целое число и что угловая функция поля, вращение которого по абсолютной величине больше ½ , принимает либо значение π, либо значение −π (в соответствующей точке вектор поля направлен противоположно Φ( )). Допустим, что уравнение

P(t) = 0 (1.18)

имеет на [a,b] конечное число решений

< < ... < .

Вращение γ поля (1.17) на всем отрезке [a,b] представим как сумму

γ = + + + ... + , (1.19)

где — вращения соответственно на отрезках [ , ] и [ ,b], а — вращение на отрезке [ , ] (i = 1,...,k).

На каждом отрезке [ , ] колебание угловой функции θ(t) поля (1.17) не превышает π, так как в противном случае функция P(t) принимала бы нулевое значение в некоторой точке интервала ( , ). Поэтому каждое принимает одно из трех значений: ½,0,− ½ .

Если

signQ( ) = signQ( ),

то векторы поля на концах отрезка [ , ] направлены одинаково и поэтому = 0.

Пусть

signQ( ) = 1, signQ( ) = −1.

Тогда (см. рис. 1.4) = −½при P ( ) > 0 и = ½при P( ) < 0.

Аналогично при

signQ( ) = −1, signQ( ) = 1

вращение γi вычисляется по правилу = −½при P ( ) < 0 и = ½при P( ) >0.

½ ½

P(t)>0 P(t)<0

Рис. 1.4

Все перечисленные случаи можно охватить общей формулой

= signP( )(signQ( ) − signQ( )), (1.20)

проверкукоторойпредоставляемчитателю. Формула (1.19) перепишетсятогдаввиде

γ = + + signP( )(signQ( ) − signQ( )). (1.21)

При применении этой формулы полезно помнить, что P(t) на интервале ( ) принимает значения одного знака. В качестве примера рассмотрим поле

Φ(x,y) = ( − ,10xy)

на той половине единичной окружности, которая выделена неравенством y ≥ 0, с параметром t = x. Функции P(t) и Q(t) определяются равенствами

P(t) = 2 − 1, Q(t) = 10t (−1 ≤ t ≤ 1).

Уравнение P(t) = 0 имеет два корня: = − , = . Направление векторов Φ(−1) и Φ(1) совпадает с положительным направлением оси абсцисс. Векторы Φ( ) и Φ( ) направлены соответственно по отрицательному и положительному направлению оси ординат. Поэтому = = − . Из формулы (1.21) вытекает, что вращение рассматриваемого поля равно −1.

Нетрудно видеть, что формула (1.21) сохраняет силу, если сумму в ней брать только по таким парам соседних нулей функции P(t), между которыми есть нули функции Q(t). В этой последней форме формула (1.21) верна и в том случае, когда уравнение P(t) = 0 имеет бесконечное множество нулей.

Некоторые свойства вращения .

1. При изменении ориентации линии L на противоположную значение g(L; А) умножается на -1.

2. Если линия L разбита на несколько частей, ориентированных в соответствии с ориентацией L, то вращение поля вдоль L равно сумме его вращений вдоль всех частей.

3. Если линия L замкнутая, то g(L; А) - целое число, не зависящее от того, какая точка на L была принята за начальную.

4. Если замкнутая линия L непрерывно деформируется так, что в любой момент процесса деформации она не проходит через особые точки поля, то вращение поля вдоль деформируемой линии остается неизменным.

5. Если на замкнутой линии L и внутри нее нет особых точек поля А, то g(L; А) = 0.