Угловая функция.
П
усть
непрерывное векторное поле Φ(M)
задано на некоторой жордановой кривой
Γ без самопересечений. Если Γ — гладкая
кривая, то примерами могут быть поля
единичных касательных или нормальных
векторов, направленных в определенную
сторону (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Допустим, что кривая Γ задана в параметрической форме:
x = x(t), y = y(t) (a ≤ t ≤ b).(1.5)
Тогда задание векторного поля
Φ(x,y) = (φ(x,y),ψ(x,y))(1.6)
на кривой Γ равносильно заданию вектор-функции
Φ(t) = (φ(x(t),y(t)),ψ(x(t),y(t))) (1.7)
на отрезке [a,b].
Пусть вектор-функция Φ(t) непрерывна и все векторы Φ(t) не равны нулю. Определим для каждого t ∈ [a,b] угол (в радианах) между векторами Φ(t) и Φ(a), отсчитанный от Φ(a) в положительном направлении (против хода часовой стрелки). Этот угол является многозначной функцией t. Через θ(t) обозначим непрерывную ветвь этой функции, обращающуюся в нуль приt = a, и назовем ее угловой функцией поля Φ на кривой Γ.
В качестве примера рассмотрим векторное поле
Φ(x,y) = (x,y) (1.8)
на кривой (половине единичной окружности)
x = cosπt, y = sinπt (0 ≤ t ≤ 1).(1.9)
Очевидно (рассмотрите чертеж), θ(t) = πt.
Из определения угловой функции вытекает, что она не меняется, если все векторы поля поворачивать на один и тот же угол. Угловая функция не изменится при замене каждого вектора Φ(x,y) единичным вектором того же направления, то есть при переходе к “нормированному” полю
(x,y)
=
(1.10)
(через
здесь
и ниже обозначается длина вектора Φ).
Формула (1.10) имеет смысл, так как угловая
функция определена лишь для полей, не
имеющих нулевых векторов.
В заключение пункта подчеркнем, что угловая функция зависит от того, каким способом на кривой Γ введен параметр.
Вращение поля.
Приращение угловой функции θ(t) на всем отрезке [a,b], выраженное в единицах полного оборота, то есть величину
γ(Φ,Γ)
=
(θ(b)
− θ(a)) =
θ(b),
(1.11)
назовем вращением поля Φ на кривой Γ. Введение на кривой Γ параметра t превращает Γ в ориентированную кривую (перемещение точки при возрастании t задает эту ориентацию — см. рис. 1.2).
П
риведенное
выше определение вращения векторного
поля зависит от способа введения
параметра. Нетрудно видеть, что вращение
поля Φ на кривой Γ при двух способах
введения параметра одинаково, если эти
параметры определяют на Γ одинаковую
ориентацию. Если же две параметризации
определяют разные ориентации, то вращения
будут отличаться лишь знаком.
M
(b)
Г
M(a)
Рис. 1.2
Таким образом, вращение поля определяется лишь ориентацией кривой.При переходе к противоположной ориентации абсолютная величина вращения сохраняется, а знак вращения меняется.
И
з
проведенных в предыдущем пункте
рассуждений вытекает, что вращение не
меняется при повороте всех векторов
поля на один и тот же угол и при нормировании
поля. Если ориентированная кривая Γ
является объединением нескольких
ориентированных кривых
,
,...,
(см. рис. 1.3), то вращение поля Φ на Γ равно
сумме вращений на
,
,...,
.
Рис. 1.3
Вращение может быть любым вещественным числом. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что θ(t) является угловой функцией поля
Φ(t) = (cosθ(t),sinθ(t)),(1.12)
рассматриваемого на отрезке
x = t, y = 0 (0 ≤ t ≤ 1);(1.13)
вращение γ этого поля равно θ(1)и может быть любым, так как непрерывная функция θ(t) может выбираться произвольным способом.
Если
на двух концах кривой Γ векторы поля Φ
направлены одинаково, то изменение
угловой функции кратно 2π и, следовательно,
вращение является целым числом.
Аналогично, если на концах кривой Γ
векторы поля Φ направлены противоположно,
то γ(Φ,Γ) = n +
,
где n — некоторое целое число.
Вращение векторного поля параллельных векторов равно нулю, так как в этом случае θ(t) ≡ 0. Однако вращение может быть равно нулю и в других случаях.