Пример выполнения задания 4

Условия задания 4 даны в табл. 4.1, а исходные данные – в табл. 4.2

0 , МПа	Eм, ГПа	Eд / Eм	, ч-1	01013, c	U0 , кДж/ моль (полиэтилен)	γ , кДж/ (моль ·МПа) (полиэтилен)	t , °C	, МПа, (полиэтилен)	C010 4 , c / (МПа)  - 	U0 , кДж / моль (резина)	α	, МПа (резина)
42	70	0,17	0,13	0,8	125	0,0732	70	100	1,14	73	2,8	11

Таблица 4.2

Исходные данные к примеру задания 4

Примечание. При выполнении задания аналогичные данные, соответствующие своему шифру, необходимо взять из табл. 4.1.

Решение

1.  Построение кривой ползучести вязкоупругого материала с использованием модели Кельвина.

Модель Кельвина дает следующую зависимость () при  = ₀ = const (случай ползучести):

() = ₀[ 1 – (1 – E_д /E_м ) exp ( – ) ]/E_д (4.10)

при начальном условии (0) = ₀ = ₀/E_м .

В нашем случае начальная деформация и длительный модуль упругости соответственно равны  ₀ = 42/70  10³ = 0,6  10^-3 ; E_д = 0,17  E_м =

= 0,17  70 = 11,9 ГПа = 11,9  10³ МПа, тогда

() = 42 [1– (1–0,17) exp (– 0,13) ]/11,9  10³ =

= 3,53  10^-3 [1 – 0,83 exp(–0,13)] = 3,53 10^-3 - 2,93 10^-3 exp ( – 0,13).

Итак, окончательно () = 3,5310^-3 - 2,9310^-3exp( – 0,13).

Результаты расчета функции () сведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Результаты расчета функции ()
, ч	-  0,13 	exp( - 0,13 )	()
0	0	1	0,6010-3
5	-0,65	0,522	2,0010-3
10	-1,3	0,273	2,7310-3
20	-2,6	0,0743	3,3110-3
30	-3,9	0,0202	3,4710-3
40	-5,2	0,0055	3,5110-3
	-	0	3,5310-3

Г рафик зависимости (), построенный по данным табл. 4.3, показан на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Кривая ползучести материала () при ₀ = 42 МПа

2.  Построение кривой релаксации вязкоупругого материала с использованием модели Кельвина.

Модель Кельвина дает следующую зависимость () при  = ₀ = const (случай релаксации):

() = ₀[(1 – E_д /E_м) exp ( – E_м /E_д) + E_д /E_м] (4.11)

при начальном условии (0) = ₀ = E_м ₀.

В нашем случае начальное напряжение равно ₀ = 42 МПа, а отношение модулей E_м /E_д = 1/(E_д /E_м) = 1/0,17 = 5,88, тогда

() = 42 [(1 – 0,17) exp ( – 0,13  5,88) + 0,17] =

= 42 [0,83 exp ( – 0,765) + 0,17] = 34,9 exp ( – 0,765) + 7,14.

Итак, окончательно () = 34,9 exp ( – 0,765 ) + 7,14.

Результаты расчета функции () сведены в табл. 4.4

Таблица 4.4

	Результаты расчета функции ()
, ч	- 0,765 	exp(- 0,765 )	()
0	0	1	42
1	-0,765	0,465	23,4
2	-1,53	0,217	14,7
3	-2,30	0,101	10,7
4	-3,06	0,0469	8,77
5	-3,82	0,0218	7,90
	-	0	7,14

График зависимости (), построенный по данным табл. 4.4, показан на рис. 4.6.

Вычисление времени релаксации _r .

По определению (_r) = ₀ /e, где e ≈ 2,718.

В нашем случае (_r) = 42/2,718 = 15,5 МПа. Время _r, соответствующее напряжению (_r) = ₀/e = 15,5 МПа, и есть время релаксации.   Откладывая  на  графике (рис. 4.6)  по  оси    напряжение, равное  15,5 МПа, и проводя соответствующую горизонтальную линию до пересечения с кривой (), получаем _r ≈ 1,8 ч.

Рис. 4.6. Кривая релаксации материала () при ₀ = 3,5310^-3

Проверим это значение численно, разрешив зависимость () относительно :

 = – ln[(/₀ – E_д /E_м )/(1 – E_д /E_м) ] E_д /E_м, (4.12)

откуда для _r получим

 = – ln[(1/e– E_д /E_м )/(1 – E_д /E_м) ] E_д /E_м. (4.13)

В нашем случае

_r = – ln[(1/2,718 – 0,17)/(1 – 0,17)] 0,17/0,13 = – 1,31 ln[(0,368 – 0,17)/0,83)] =

= – 1,31 ln 0,239 = – 1,31 (-1,43) = 1,87 ч,

что (с точностью до погрешности построения) соответствует значению, найденному графически, _r ≈ 1,8 ч.

3.  Вычисление времени разрушения _ полимерного материала типа полиэтилена низкого давления при заданных  и T.

Экспоненциальная зависимость _(, T) (формула С. Н. Журкова) имеет вид

_ = ₀ exp (U₀ –   ) / RT. (4.14)

В данном случае

_ = 0,8 10^-13 exp (125 10³ – 0,0732 10³100) /8,31343 =

= 0,8 10^-13 exp (118 10³/2,85 10³) = 0,8 10^-13 exp 41,3 =

= 0,8 10^-13 8,32 10¹⁷ = 6,65 10⁴ с ≈ 18,5 ч,

где учтено, что T = t + 273 = 70 + 373 = 343 К.

Проверим полученный результат, подставив _ = 66500 с в формулу С. Н. Журкова, разрешенную относительно :

 =  U₀ – RT ln(_ / ₀) /  =

= 125 10³ – 8,31  343 ln(6,6510⁴ / 0,8 10^-13) / 0,073210³ =

= 125 – 2,85 ln(8,32  10¹⁷)  / 0,0732 = ( 125 – 117 )  / 0,0732 = 100 МПа.

Полученный результат соответствует заданному пределу длительной прочности    =     =  100  МПа , следовательно, время разрушения материала _{ = 66500 с ≈ 18,5 ч определено верно.}

4. Вычисление времени разрушения _ полимерного материала типа резины при заданных  и T.

Степенная зависимость _(, T) для резины имеет вид

_ = С₀ exp(U₀ / RT)  ^{- α} . (4.15)

В данном случае

_ = 1,14 10^-4 exp(73  10³/8,31  343) 11^{- 2,8} = 1,14 10^-4 exp (25,6) 1,2110^-3=

= 1,1410^-41,3110¹¹1,2110^-3 = 1,8110⁴ с = 5,02 ч.

Проверим полученный результат, подставив _ = 18100 с в степенную зависимость _(), разрешенную относительно :

 = _ /C₀ exp (U₀ /RT ) ^{- 1/α} = 18100 / 1,14 10^-4 exp (7310³/8,31  343) ^-1/2,8 =

= [18100 / 1,14 10^-4 exp(25,6) ^{- 0,357} = (18100 / 1,14 10^-41,3110¹¹) ^{– 0,357} =

= (1,2110^-3) ^{– 0,357} ≈ 11 МПа.

Полученный результат соответствует заданному пределу длительной прочности  =  = 11 МПа, следовательно, время разрушения материала _{ = 18100 с ≈ 5,02 ч определено верно.}

Ответ:

() = 3,5310-3 – 2,9310-3 exp(– 0,13);
() = 34,9 exp( – 0,765 ) + 7,14 ;	r = 1,87 ч (r ≈ 1,8 ч из графика);
 = 66500 с ≈ 18,5 ч (полиэтилен);
 = 18100 с ≈ 5,02 ч (резина).