Дисциплины:
«Математическое и имитационное моделирование» и «Исследование операций и методы оптимизации»
При сдаче экзамена необходимым условием является предоставление конспекта. (условия задач не конспектировать)
Для получения оценки «удовлетворительно» нужно уметь решать задачи, разобранные в тексте лекций. Для получения оценок «хорошо» и «отлично» необходимо решить задачи в контрольных работах к каждой лекции.
Лекция 1. Дроби, доли, пропорции и основные действия
арифметики и алгебры. Контрольная работа 1.
Лекция 2 Задача безусловной математической оптимизации. Контрольная работа 2.
Лекция 3. Модель межотраслевого баланса. Контрольная работа 3.
Лекция 4. Задача линейного программирования. Транспортная задача. Контрольная работа 4.
Лекция 5. Элементы теории игр. Контрольная работа 5.
Лекция 6. Элементы теории массового обслуживания. Контрольная работа 6.
Лекция 7. Модели производства и потребления. Контрольная работа 7.
Лекция 1. Дроби, доли, пропорции и основные действия арифметики и алгебры
Действия с дробями:
Пропорция
Уравнения 2-й степени с одним неизвестным
решаются по следующим правилам:
- уравнение приводится к виду:
- решение производится по стандартной формуле:
Неопределенные (диофантовые) имеют вид:
Поскольку второе уравнение отсутствует, значения х и у становятся неопределенными (таких значений может быть сколько угодно).
Возможность решения неопределенных уравнений появляется
лишь тогда, когда возникают дополнительные условия: х и у должны быть целыми и положительными. Эти условия снимают неопределенность, и задача получает решение.
Задача 1.1:
Предприниматель заключил со своим лечащим врачом следующий оригинальный договор: за те дни, когда предприниматель
здоров, он выплачивает врачу по 30 тыс. у.д.ед., а за те дни, когда
он нездоров, врач платит ему по 20 тыс. у.д.ед. По истечении некоторого срока врачу пришлось отказаться от продолжения договора: оказалось, он задолжал предпринимателю 100 тыс. у.д.ед.
1) Сколько дней предприниматель был здоров и сколько дней нездоров?
2) Сколько времени продолжалось действие договора?
Задача 1.2.
Товар хороший, но дорогой - 300 у.д.ед. за штуку. Поэтому покупали его редко, и товар стал залеживаться. Если бы продавать его подешевле, наверняка бы расхватали. Вот как это можно сделать. Надо установить цену товара в три раза меньше - по 100 у.д.ед. за штуку. Но каждого покупателя обязать оплатить, помимо стоимости товара, еще два талона на право его приобретения. Покупателям можно объяснить, что, поскольку товар хороший и очень дешевый, эти талоны легко можно будет реализовать - всегда найдется двое желающих купить дешево и хорошо - и вернуть деньги, потраченные на талоны. Не успеете оглянуться, как ваш залежалый товар буквально расхватают. В этом замечательном предложении есть одна неувязка: вы продаете единицу товара за 300 у.д.ед., а покупатель тратит на нее 100 у.д.ед. Кто оплачивает разницу?
Перестановки, размещения и сочетания
Перестановки.
Число всех перестановок без повторений из n элементов обозначается символом Р n (от фр. Permutation – перестановка) и находится с помощью следующей формулы.
Задача 1.3. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
Задача 1.4. Сколько среди четырёхзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9 (без их повторения), таких, которые начинаются с цифры 3?
Размещения.
Упорядоченные наборы m различных элементов, составленные из элементов n-элементного множества, называются размещениями без повторений из n по m.
Число всевозможных размещений без повторений из n по m находится с помощью следующей формулы.
Задача 1.5. В конкурсе участвуют 10 фирм, из которых нужно выбрать три на 1, 2 и 3 места. Сколько вариантов выбора существует?
Задача 1. 6. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и помня лишь, что эти цифры различны набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер набран правильно.
Cочетаниями без повторений из n по m называются n-элементные подмножества т-элементного множества
От размещений сочетания отличаются тем, что порядок элементов в них несущественен. Число всех сочетаний без повторений из т по n обозначается символом С (от фр. combination – сочетание) и находится по следующей формуле.
Задача 1.7. Стало известно, что на малом предприятии с численностью работающих 24 человека четверо являются бандой преступников. Сколько таких возможных четверок необходимо проверить правоохранительным органам?