15. Границя функції в точці. Односторонні границі.

Границя функції в точці

Нехай функція визначена в деякому околу точки , крім, можливо, самої точки .

Сформулюємо два, еквівалентних між собою, означення границі функції в точці.

Означення 1. (на «мові послідовностей», або по Гейне). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якої послідовності допустимих значень аргументу , ( ), що збігається до (тобто ), послідовність відповідних значень функції , , збігається до числа А.

В цьому випадку пишуть або при . Геометрично значення границі функції : означає, що для всіх точок х, достатньо близьких до точки , відповідні значення функції як завгодно мало відрізняються від числа А.

Означення 2 (на «мові », або по Коші). Число А називається границею функції в точці (або при ), якщо для будь-якого додатного  знайдеться таке додатне число , що для всіх , задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Записують .

Приклад 16.1 Довести, що

○ Візьмемо довільне , знайдемо таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність , тобто |x-3|< .Узявши = , бачимо, що для всіх х, задовольняючих нерівності ), виконується нерівність . Отже ○

Приклад 16.2. Довести, що, якщо , то .

○ Для можна узяти . Тоді при , маємо

. Отже .●

Односторонні границі

У означенні границі функції вважається, що х прямує будь-яким способом : залишаючись меншим, ніж (зліва від ), більшим, ніж (праворуч від ), або коливаючись біля точки .

Бувають випадки, коли спосіб наближення аргументу х до істотно впливає на значення границі функції. Тому вводять поняття односторонніх границь.

Число називається границею функції зліва в точці , якщо для будь-кого число існує число таке, що при , виконується нерівність . Границю зліва записують так : або коротко (позначення Діріхле) (див. рис.111)

Аналогічно визначається границя функції справа.

Коротко границю справа позначають .

Границі функції зліва і справа називаються односторонніми межами . Очевидно, якщо існує, то існують і обидві односторонні границі, причому .

Справедливо і зворотне твердження : якщо існують обидві границі і і вони рівні, то існує границя і

Якщо ж , то не існує.

16. Нескінченно малі та нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих функцій.

Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа M>0 існує число , що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність . Записують або при .

Наприклад, функція є н.в.ф. при х2.

Якщо f(x) прагне нескінченності при і приймає лише додатні значення, то пишуть ; якщо лише від’ємні значення, то

Функція , задана на всій числовій прямій, називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа М>0 знайдеться таке число N=N(M)>0, що при всіх х, задовольняючих нерівності |x|>N, виконується нерівність .

Функція називається нескінченно малою при , якщо

(17.1)

За означенням границі функції рівність (17.1) означає : для будь-якого числа >0 знайдеться таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність .

Аналогічно визначається н.м.ф. при , , , : у всіх цих випадках .

Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими; позначають звичайно грецькими буквами  і т.д.

Як відомо, сума, різниця і добуток двох н.м.ф. є функція нескінченно мала. Відношення ж двох н.м.ф. може поводитися різним чином : бути кінцевим числом, бути нескінченно великою функцією, нескінченно малої або взагалі не прагнути ні якої границі.

Дві н.м.ф. порівнюються між собою за допомогою їх відношення.

Нехай є н.м.ф. при , тобто і

1. Якщо , то і називаються нескінченно малими одного порядку.

2. Якщо , то називається нескінченно малою більш високого порядку, ніж .

3. Якщо , то називається нескінченно малою більш низького порядку, ніж .

4. Якщо не існує, то і називаються незрівнянними нескінченно малими.

Відзначимо, що такі ж правила порівняння н.м.ф. при , .

Приклад 18.1. Порівняти порядок функцій при

○ При це н.м.ф. одного порядку, оскільки

Говорять, що н.м.ф.  і  одного порядку прагнуть нуля з приблизно однаковою швидкістю.