54. Методи інтегрування. Метод безпосереднього інтегрування. Метод зведення під знак диференціала.

Метод інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції (або виразу) і застосування властивостей невизначеного інтеграла зводиться до одного або декількох табличних інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням.

При зведенні даного інтеграла до табличного часто використовуються наступні перетворення диференціала (операція «приведення під знак диференціала»):

, – число

, – число

,

,

,

,

.

Взагалі, , ця формула дуже часто використовується при обчисленні інтегралів.

Приклади:

1) (формула 2 таблиці інтегралів);

2) (формула 1);

3) (формула 13);

4)

(формули 1 і 6);

5)

;

54. Метод заміни змінної.

Інтегрування методом підстановки полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановкою). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або таким, що зводиться до нього (у разі «вдалої підстановки»). Загальних методів підбору підстановок не існує. Уміння правильно визначити підстановку отримується практикою.

Нехай потрібно обчислити інтеграл . Зробимо підстановку , де – функція, що має неперервну похідну.

Тоді і на підставі властивості інваріантності формули інтеграції невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою

Формула (2.1) також називається формулою заміни змінних в невизначеному інтегралі. Після знаходження інтеграла правої частини цієї рівності слід перейти від нової змінної інтеграції назад до змінної .

Приклад 1. Знайти .

 Покладемо , тоді . Отже .

Приклад 3. Отримати формулу .

Позначимо (підстановка Ейлера). Тоді , тобто .

Звідси

.

Отже

.

Приклад 5. Знайти .

 Позначимо . Тоді , . Отже

.

54. Інтегрування по частинам.

Нехай і - функція, що має неперервні похідні. Тоді . Проінтегрувавши цю рівність, отримаємо

або

Отримана формула називається формулою інтегрування частинами. Вона дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла , який може виявитися істотно простішим за початковий.

Інтегрування частинами полягає в тому, що підінтегральний вираз заданого інтеграла представляється яким-небудь чином у вигляді добутку двох співмножників і (це, як правило, можна здійснити декількома способами); потім, після знаходження і використовується формула інтегрування частинами. Іноді цю формулу потрібно використовувати кілька разів.

Вкажемо деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами.

1. Інтеграл вигляду , де - многочлен, – число. Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.

2. Інтеграли вигляду . Зручно покласти , а за позначити решту співмножників.

3. Інтеграли вигляду , де і – числа. За можна прийняти функцію .

Приклад 6. Знайти .

 Нехай (можна покласти ). Отже, по формулі інтегрування частинами:

Приклад 7. Знайти .

 Нехай . Тому

.