51. Дотична площина і нормаль до поверхні.

Р озглянемо одне геометричне застосування частинних похідних функції двох змінних. Нехай функція диференційовна в точці деякої області. Перетнемо поверхню , що зображає функцію , площинами і (див. рис. 4). Площина перетинає поверхню по деякій лінії , рівняння якої виходить підстановкою у вираз початкової функції замість числа . Точка належить кривій. Через диференційовність функції в точці функція також диференціюється в точці . Тому, в цій точці площини до кривої може бути проведена дотична пряма .

Рис.4

Проводячи аналогічні міркування для перетину , побудуємо дотичну пряму до кривої в точці . Прямі і визначають площину, яка називається дотичною площиною до поверхні в точці .

Складемо її рівняння. Оскільки площина проходить через точку , то її рівняння може бути записано у вигляді

яке можна переписати так:

(3.1)

(розділивши рівняння на і позначивши ).

Знайдемо і : Рівняння дотичних і мають вигляд

відповідно.

Дотична лежить в площині , отже, координати всіх точок задовольняють рівняння (3.1). Цей факт можна записати у вигляді системи

Розв’язуючи цю систему відносно , отримаємо, що Проводячи аналогічні міркування для дотичної , легко встановити, що

Підставивши значення і в рівняння (3.1), одержуємо шукане рівняння дотичної площини:

(3.2)

Пряма, що проходить через точку і перпендикулярна дотичній площини, побудованої в цій точці поверхні, називається її нормаллю.

Використовуючи умову перпендикулярності прямої і площини (див. з. 87), легко отримати канонічні рівняння нормалі:

(3.3)

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (3.2) і (3.3), з урахуванням того, що частинні похідні можуть бути знайдені як похідні неявної функції:

(див. формули (2.12)), приймуть відповідно вигляд

і

Зауваження. Формули дотичної площини і нормалі до поверхні отримані для звичайних, тобто не особливих, точок поверхні. Точка поверхні називається особливою, якщо в цій точці всі частинні похідні рівні нулю або хоча б одна з них не існує. Такі точки ми не розглядаємо.

Приклад 1. Написати рівняння дотичної площини і нормалі до параболоїда обертання в точці .

m Тут, , ,

Користуючись формулами (3.2) і (3.3) одержуємо рівняння дотичної площини:

або і рівняння нормалі:

l

52. Екстремум функції двох змінних.

Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум і мінімум функції називають її екстремумами

Відзначимо, що, за означенням, точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції; максимум і мінімум мають локальний (місцевий) характер: значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках достатньо близьких до . В області функція може мати декілька екстремумів або не мати жодного.

Теорема 10.4.1. (необхідні умови екстремуму). Якщо в точці диференційовна функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: , .

Зафіксуємо одну із змінних. Покладемо, наприклад . Тоді отримаємо функцію однієї змінної, яка має екстремум при . Отже, згідно необхідній умові екстремуму функції однієї змінної (див. п. 25.4), , тобто .

Аналогічно можна показати, що .

Геометрично рівності і означають, що в точці екстремуму функції дотична площина до поверхні, що зображає функцію , паралельна площині , так як рівняння дотичної площини (див. формулу (3.2)).

Зауваження. Функція може мати екстремум в точках, де хоча б одна з частинних похідних не існує.

Наприклад, функція має максимум в точці (див. рис. 6), але не має в цій точці частинних похідних.

Точка, в якій частинні похідні порядку функції рівні нулю, тобто, , , називається стаціонарною точкою функції .

Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками. Приклад 1. Знайти екстремум функції .

m Тут Точки, в яких частинні похідні не існують, відсутні.

Знайдемо стаціонарні точки, розв’язуючи систему рівнянь:

Звідси одержуємо точки і

Знаходимо частинні похідні другого порядку даної функції:

В точці маємо: , звідси тобто

Оскільки , то в точці функція має локальний максимум

В точці : і, значить . Проведемо додаткове дослідження. Значення функції в точці рівне нулю: . Можна помітити, що при , при , . Значить, в околі точки функція приймає як негативні, так і позитивні значення. Отже в точці функція екстремуму не має.