37. Максимум і мінімум функції. Умови існування екстремуму. Дослідження функції на екстремум.

Якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і такий, що для всіх з інтервалу , то точку називають точкою максимуму функції , а саме число - максимумом функції .

Якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і такий, що для всіх з інтервалу , то точку називають точкою мінімуму функції , а саме число - мінімумом функції .

Стаціонарними точками називають точки в яких похідна функції рівна нулю.

Точки максимуму і мінімуму функції називають екстремальними точками.

Екстремумом функції називають її максимум і мінімум.

Теорема1: Якщо функція у внутрішній точці проміжку має похідну і то функція в точці зростає (спадає).

Теорема2: Якщо функція у внутрішній точці проміжку має екстремум, то в цій точці похідна , якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема3: Нехай - стаціонарна точка функції , яка в цій точці є неперервною, і існує окіл точки , в якому має похідну . Тоді:

1. якщо в інтервалі , а в інтервалі похідна , то є точкою максимуму функції ;

2. якщо в інтервалі , а в інтервалі , то є точкою мінімуму функції ж

3. якщо в обох інтервалах і похідна має той самий знак, то не є екстремальною точкою функції .

Теорема4: Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю, Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

Друге правило: Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1. знайти стаціонарні точки заданої функції;

2. знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці.

Якщо при цьому в стаціонарній точці то є екстремальною точкою для функції , а саме: точкою мінімуму, якщо і точкою максимуму, якщо

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання.

Знайдемо похідну . Розв’яжемо рівняння , звідки дістанемо одну стаціонарну точку . З’ясуємо чи є зміна знака похідної. Оскільки для всіх , то не змінює знак при переході через точку . Отже, не є екстремальною точкою.

Відповідь: Функція екстремуму не має

Приклад 2. Дослідити функцію на екстремум.

Розв’язання.

Знаходимо похідну і розв’язуємо рівняння , звідки дістанемо одну стаціонарну точку .

Перевіряємо достатні умови. Для цього візьмемо поблизу точки від’ємне значення , наприклад ( - дійсне число), і обчислимо похідну . Оскільки , . Отже, зліва від точки похідна має додатний знак.

Обчислимо в точці . Маємо . Отже, справа від точки похідна має додатний знак.

Таким чином, похідна при переході через точку змінює знак з „-” на „+”. Звідси є точкою мінімуму, а сама функція в точці має мінімум. Щоб знайти цей мінімум, слід знайти значення функції в цій точці. Дістанемо .

Відповідь: .

Приклад 1. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум

Розв’язання.

Знаходимо похідну

Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо рівняння звідки дістанемо такі стаціонарні точки: .

Знаходимо похідну другого порядку .

Підставляємо у вираз для знайдені значення і :

отже є точкою максимуму, а - точкою мінімуму функції , причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють

Відповідь: