Позиційні і непозиційні системи числення. Перехід від запису чисел в одній системі числення до запису в іншій. Арифметичні дії над числами в недесяткових позиційних системах числення

Система числення – це сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна зобразити на письмі або назвати будь-яке натуральне число.

Розрізняють непозиційні та позиційні системи числення.

У непозиційних системах числення кожен знак завжди означає одне і те ж число, незалежно від місця (позиції) в запису числа.

Наприклад

1) Єгипетська ієрогліфічна система числення, в якій І – 1,  – 10, ρ – 100 і т.д., причому всі числа записуються за допомогою лише операції додавання:

243 = ρ ρ     І І І.

2) Римська система числення, в якій

І – 1; V – 5 ; X – 10; L – 50 ; C – 100; D – 500; M – 1000, причому всі числа записуються за допомогою операцій додавання і віднімання: IV = 4; VI = 6;

IX = 9; XI = 11; 564 = DLXIV.

3) У Росії до XVII ст. була розповсюджена словянська нумерація, числа в якій позначалися буквами словянського алфавіту, над якими ставився спеціальний знак N – титло.

У позиційних системах числення один і той же знак може означати різні числа в залежності від місця (позиції) в запису числа.

Наприклад: десяткова система числення

777 = 7·100 + 7·10 + 7·1

Взагалі, основою позиційної системи числення може бути натуральне число p≥2.

Для запису чисел у системі числення з основою р необхідно р цифр – від 0 до (р – 1).

Наприклад: 1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – у системі числення з основою 10;

2) 0, 1 – у системі числення з основою 2;

3) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – у системі числення з сновою 7;

4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11), (12) – у системі числення з основою 13.

Запис числа х в системі числення з основою р:

, де

, або стисло:

.

Правило 1 Щоб натуральне число, записане в десятковій системі числення подати в позиційній системі числення з основою р, треба дане число поділити на основу р, частку знову поділити на основу р і т.д., до тих пір, поки не дістанемо частку рівну 0. Утворені при цьому послідовні остачі, записані у порядку від останньої до першої, і є записом даного числа у системі числення з основою р.

Н ариклад: 299 = х₈

2 99 8

2 4 37 8

59 32 4 8

56 5 0

3

299 = 453₈ (читається: “чотири, пять, три – за основою вісім”).

Зауваження: скільки раз ділили – стільки і цифр у новому записі числа.

Правило 2 Щоб натуральне число х_p (p≠10) записати в десятковій системі числення, досить зобразити його у вигляді суми добутків його цифр на відповідні степені основи системи числення і виконати обчислення.

Наприклад: 453₈ = х₁₀

І спосіб. = 4·8² + 5·8¹ + 3·8⁰ = 4·64 + 5·8 + 3·1 = 256 + 40 +1 = 299

453₈ = 299

ІІ спосіб. 453₈

×8

32 + 5 = 37

× 8

296 + 3 = 299

Арифметичні дії над натуральними числами в недесяткових позиційних системах числення.

1) ₊ 8 = 1·6 + 2 2) ₊ 21 = 1·12 + 9

3434₆ 7 = 1·6 + 1 3(10)6₁₂ 14 = 1·12 + 2

10212₆ 6 = 1·6 + 0 4 4 2 9 (11)₁₂

3) _ 4) _321₅ 6 = 1·5 + 1

2843₉ 43₅ 10 = 2·5 + 0

1664_{9 +}2013 8 = 1·5 + 3

2334 13 = 2·5 + 3

30403₅ 5 = 1·5 + 0

З нання різних систем числення необхідно вчителю початкових класів для кращого розуміння різних методичних підходів до навчання молодших школярів способам запису чисел і виконанню дій над ними.