Порівняльна характеристика методів резервування без відновлення

Проведемо порівняльну оцінку показників надійності при різних методах резервування, використовуючи графіки залежності коефіцієнта виграшу середнього наробітку до відмови від числа резервних елементів (рис. 5.3) і залежності ймовірності безвідмовної роботи від нормованого часу (рис. 5.4).

Р ис. 5.3 Рис. 5.4

На рис. 5.3 цифрами 1, 2, 3 позначений ненавантажений резерв заміщенням. Полегшений резерв заміщенням, навантажений резерв заміщенням (постійний) відповідно. На рис. 5.4 наступні позначення: 1 – ненавантажений резерв, ; 2 – навантажений резерв, ;

3 – ненавантажений резерв, ; 4 – навантажений резерв, ;

5 – без резерву, .

Як видно із графіків, при однакових кратностях і методі резервування показники надійності тим вище, чим легший режим резервних елементів. Найбільш ефективним із цього погляду варто вважати ненавантажений режим, при якому середній наробіток до відмови пропорційний числу елементів резервованої системи. Найнижчі показники має навантажений режим, при якому додатковий наробіток зі збільшенням числа резервних елементів на одиницю падає. Режим полегшеного резерву дає проміжний результат. Зокрема, при коефіцієнті навантаження у резервованій системі заміщенням з’являється незначний виграш у порівнянні з навантаженим резервом.

Використовуючи метод постійного включення, можна отримати значний виграш у надійності, внаслідок того, що при полегшеному резерві одночасно поліпшуються умови роботи і основних елементів. Наприклад, при зміні інтенсивності відмов обернено-пропорційно числу спільно працюючих елементів система з полегшеним резервом має таку ж надійність, як і система з ненавантаженим резервом, що заміщає. Із цього можна зробити висновок, що постійне резервування має перевагу над резервуванням заміщенням. Однак практична реалізація даного методу можлива не у всіх системах. Тоді доводиться застосовувати резервування заміщенням.

Аналізуючи графіки, зображені на рис. 5.4, легко побачити, що найбільший виграш на одиницю резерву забезпечує перший резервний елемент, другий елемент дає менший внесок, наступні – ще менше. Ця обставина дозволяє обмежити на практиці число резервних елементів величиною або , що особливо важливо в умовах обмежень на масу, обсяг, габарити, розміри або вартість апаратури.

4. Методика оцінки надійності резервованих систем з відновленням.

Зараз резервування з відновленням є одним із найбільш ефективних шляхів забезпечення необхідного рівня надійності складних об’єкта. При цьому методі працездатність будь-якого об’єкту, що відмовив, основного або резервного елемента підлягає відновленню у процесі експлуатації об’єкта.

В основі цієї методики лежить схема руйнування і розмноження, що являє собою теоретико-імовірнісну схему, яка використовує теорію Марківських випадкових процесів [7, 11, 14].

Визначимо деякі поняття, які будемо використовувати надалі. Що розуміють під станом системи? Будь-яка система має кінцеву кількість елементів, кожен з яких у найпростішому випадку може перебувати в одному із станів: працездатному ( ) і непрацездатному ( ). Тоді стан системи визначається сукупністю станів її елементів, тобто воно може бути представлене у вигляді

-мірного вектора , що прийнято називати вектором станів системи:

,

де - кількість елементів,

- символ позначає стан -го елемента.

Використовуючи введені поняття, можна подати процес функціонування системи як процес зміни її станів, у якому час перебування в кожному зі станів і переходи з одного в інший підпорядковуються певним імовірнісним закономірностям. Наприклад, система може змінити свій стан унаслідок відмови якого-небудь елемента або закінчення відновлення одного з них.

Модель надійності системи, що описує процес зміни її станів, називають Марківською, якщо імовірнісні характеристики її надійності на деякому проміжку часу залежать лише від того, у якому стані система була на початку проміжку часу , і не залежать від того, яким чином вона потрапила в цей стан і як довго в ньому перебувала до моменту часу . Необхідною і достатньою умовою того, що модель надійності – Марківська, є: експонентний розподілу часу перебування в кожному зі станів, параметр якого залежить тільки від номера стану ; сталість умовних ймовірностей переходу із стану в стан (за умови, що стан системи не змінився).

Таким чином, щоб описати процес функціонування системи Марківською моделлю, необхідно задати безліч параметрів і матрицю умовних ймовірностей переходу зі стану в : . Замість матриці, можна задати матрицю інтенсивності переходу де .

Для наочності і зручності проведення розрахунків станів системи й зв'язку між ними їх зображують у вигляді графа станів і переходів. Як приклад, на рис. 5.5 представлений граф станів і переходів для наступних умов: система із двох елементів, кожний з яких може перебувати в одному із двох станів - працездатному й непрацездатному. Тоді система може перебувати в чотирьох станах:

Рис.5.5

- обидва елементи працездатні;

- відмовив і знаходиться на відновленні перший елемент (імовірність переходу є імовірність його відмови, а імовірність переходу - імовірність відновлення);

- відмовив і знаходиться на відновленні другий елемент (імовірність переходу і є ймовірностями його відмови та відновлення відповідно);

- відмовили і відновлюються обидва елементи (імовірність переходу зі стану 2 в 4 дорівнює , зі стану 3 в 4 - , імовірність відновлення першого елемента є ймовірність переходу , імовірність відновлення другого елемента-імовірність переходу ).

Імовірності того, що система залишається в деякому стані ( ), позначаються .

Часто на графі станів замість ймовірностей переходу проти кожної стрілки, що вказує напрямок переходу, проставляють відповідні інтенсивності переходу . Такий граф називають розміченим графом станів системи.

Загальна методика розрахунку показників надійності систем, функціонування яких описується Марківською моделлю, включає наступні основні етапи:

1. Виявлення безлічі можливих станів і побудова графа станів зі вказівкою області працездатності та непрацездатності системи.

2. Складання системи диференціальних рівнянь, що описують розглянутий процес, у яких невідомими функціями є ймовірності того, що система в момент часу перебуває в стані , .

3.Рішення системи диференціальних або відповідних їм алгебраїчних рівнянь з метою одержання необхідних показників надійності.

Для оцінки надійності резервованих систем з відновленням, описуваних Марківською моделлю, звичайно використається схема руйнування і розмноження. Розмічений граф станів таких систем має вигляд, зображений на рис. 5.6, тобто стан системи можна витягнути в один ланцюжок.

Рис.5.6

Внаслідок ординарності сумарного потоку відмов елементів і потоку відновлень перехід зі стану можливий лише у двох сусідніх станах: у при відмові ще одного елемента (позначимо інтенсивність переходу ) і в при відновленні працездатності одного з елементів, що відмовили (інтенсивність переходу ).

Систему диференціальних рівнянь для ймовірностей станів системи , записують відповідно до розміченого графа станів (рис. 5.6) за наступним правилом: похідна від імовірності перебування системи в момент часу в стані дорівнює алгебраїчній сумі добутків інтенсивностей переходів, пов'язаних з -м станом, на ймовірності станів, з яких здійснюються ці переходи; при цьому тим доданком, яким відповідають вихідні (з даного стану) стрілки, приписується знак мінус, а вхідний - знак плюс.

Користуючись цим правилом, запишемо систему диференціальних рівнянь для схеми руйнування і розмноження:

; (5.35)

…………………………………………………………;

, ;

…………………………………………………………;

.

Початкові умови: ; , .

Розв’язавши систему рівнянь (5.35), визначаємо ймовірності , а потім, підсумовуючи ці ймовірності по підмножині усіх працездатних станів системи , знаходимо ймовірність її безвідмовної роботи:

.

Систему рівнянь (5.35) можна розв’язати, використовуючи перетворення Лапласа, що дозволяє перетворити систему диференціальних рівнянь у систему алгебраїчних рівнянь.

Користуючись апаратом диференціальних рівнянь для визначення ймовірності безвідмовної роботи системи, необхідно враховувати одну особливість - введення так званих поглинаючих станів. Потрапивши в поглинаючий стан, система вже не виходить із нього до кінця розглянутого проміжку часу, "запам'ятовуючи" перехід у нього усередині проміжку. Щоб "запам'ятати" відмову системи, потрібно зробити поглинаючими всі непрацездатні стани системи, що називаються граничними, під час яких можливий перехід з якого-небудь працездатного стану. Для цього в графі станів виключають усі переходи із граничних непрацездатних станів у підмножину працездатних. Далі це буде показано на прикладі дублюючої системи.

Дослідження характеристик надійності, сформованих під впливом потоку відмов і відновлень, дозволяють зробити висновок про те, що при існуючих у практиці співвідношеннях між інтенсивностями відмов і відновлень елементів наступає порівняно швидко період сталого (стаціонарного) режиму, коли ймовірності станів системи стають постійними, тобто

, .

Із теорії ймовірностей відомо, що ці стаціонарні ймовірності не залежать від початкового стану системи.

Таким чином, при розгляді стаціонарного режиму можна прийняти всі значення рівними нулю. Тоді система (5.35) стає системою алгебраїчних рівнянь:

, , (5.36)

,

причому сума всіх ймовірностей дорівнює одиниці (так звана нормуюча умова):

. (5.37)

Для запису системи алгебраїчних рівнянь у схемі загибелі і розмноження можна використати те ж правило, що й для системи диференціальних рівнянь, тільки в лівій частині рівнянь, замість похідних , варто писати нулі.

У результаті розв’язання системи рівнянь (5.36) знаходимо [14]

, , (5.38)

де

, . (5.39)

За своїм фізичним змістом стаціонарна ймовірність є середня частка часу, протягом якого система перебуває в стані . Використовуючи цю ергодичну властивість марковського процесу, можна легко визначити коефіцієнт готовності системи як суму стаціонарних імовірностей за всіма працездатними станами системи:

(5.40)

де визначаємо, що підсумовування відбувається по всіх станах , що належить підмножині працездатних станів , а можна визначити за формулою (5.39).

Для визначення середнього наробітку до відмови користуються відомим співвідношенням:

.

Перетворення Лапласа для має вигляд:

.

Перетворення Лапласа для похідної визначається виразом

.

Тому, якщо перетворити систему рівнянь (5.35) при і урахувати, що ймовірність початкового стану при дорівнює одиниці, а ймовірності всіх інших станів при дорівнюють нулю (прийнята початкова умова), то отримаємо наступні рівняння для часу перебування системи в кожному з можливих станів:

;

…………………………………………………………;

, ; (5.41)

…………………………………………………………;

.

Для знаходження число рівнянь у системі (5.41) повинно бути обмежене тільки лише числом працездатних станів системи.

Правило написання рівняння для визначення середнього наробітку системи до відмови: після того, як отримані рівняння для ймовірностей знаходження системи в кожному з можливих працездатних станів, у лівій частині першого рівняння (для вихідного стану) ставиться мінус одиниця, у всіх рівняннях замість ймовірностей - час перебування системи в цих станах . Розв’язуючи нову систему рівнянь, визначають . Сума значень по всім , які належать області працездатних станів системи, є середнє напрацювання до відмови системи:

. (5.42)

Розглянемо реалізацію наведеної вище методики на конкретній системі.