3. Загальна методика оцінки надійності резервованих систем без відновлення.

Розглянемо резервовану систему, що складається з основних ( ) і резервних ( ) ідентичних елементів. Відмова такої системи виникає при відмові елементів. У довільний момент часу число елементів, що відмовили, є випадковою величиною. Позначимо через стан системи, у якій відмовило елементів . Тоді – стан повністю працездатної системи, – стан, при якому непрацездатним є один елемент і т.д.

Вибираємо як показники надійності системи ймовірність безвідмовної роботи і середній наробіток до відмови , оскільки інші показники безвідмовності можна отримати, використовуючи відомі співвідношення між ними.

З метою більшої наочності методику оцінки надійності резервованої системи без відновлення пояснимо на прикладі дубльованої системи, а потім покажемо, як її використати в загальному випадку.

Нехай є дубльована система, що складається з одного основного й одного резервного елемента (рис. 5.1).

Рис.5.1

Будемо вважати відомими функції густини ймовірності наробітку до відмови двох елементів і одного елемента . Не задаючи поки що умови роботи резервного елемента, допустимо, що резервний елемент підключається замість основного, що відмовив, практично миттєво і що в початковий момент часу обидва елементи працездатні.

Потрібно визначити формули для імовірності безвідмовної роботи і середнього наробітку до відмови системи .

Зі сформульованих вище умов видно, що розглянута нами система може перебувати в одному із трьох станів: (обидва елементи працездатні), (один елемент відмовив) і (обидва елементи відмовили). Очевидно, що для системи працездатними станами є і . Перехід зі стану в означає відмову системи.

Позначимо ймовірність того, що основний і резервний елементи не відмовлять протягом часу , а – імовірність того, що в деякий момент часу виникає відмова одного елемента: відбудеться перехід у стан , а елемент, що залишився, пропрацює безвідмовно протягом часу (рис. 5.2).

Рис.5.2

Тоді ймовірність безвідмовної роботи системи можна подати у вигляді суми:

. (5.1)

За визначенням, – це ймовірність безвідмовної роботи системи, що складається із двох послідовно з'єднаних у розумінні надійності елементів (основного і резервного). Використовуючи відому функцію густини ймовірності наробітку до відмови такої системи, можемо записати:

. (5.2)

Тепер визначимо ймовірність . За своїм фізичним значенням ця ймовірність допускає просту й наочну інтерпретацію (див. рис. 5.2). Вона являє собою суму на інтервалі часу добутків двох співмножників: 1) імовірності того, що відмова відбудеться в певному проміжному інтервалі ; 2) імовірності того, що відмови не відбудеться на інтервалі часу .

Перший випадок – є імовірність відмови системи, що складається із двох послідовно з'єднаних елементів, тобто . Другу ймовірність позначимо через і визначимо її з відомої функції густини ймовірності наробітку до відмови одного елемента:

.

Оскільки час – неперервна величина, то, переходячи від суми до інтегрування в межах зміни значень (від до ), можна записати:

. (5.3)

Підставляючи вирази (5.2) і (5.3) у рівняння (5.1), отримаємо загальну формулу для ймовірності безвідмовної роботи системи, що складається з одного основного і одного резервного елементів:

. (5.4)

При виведенні цієї формули не було прийнято жодних обмежень на закони розподілу наробітку до відмови і .

Якщо допустити, що елементи не старіють у процесі експлуатації (інтенсивність їхньої відмови постійна), то можна використати вираз (5.4) для оцінки безвідмовності системи, що містить будь-яке число основних і резервних елементів. Необхідно лише при кожному черговому переході підставляти у формулу (5.4) вираз для густин ймовірностей і , що обумовлені структурою системи.

По знайденій імовірності неважко визначити середній наробіток системи до відмови за відомою формулою:

. (5.5)

Ця методика має практичну реалізацію при аналізі конкретних методів резервування.