2. Точкові та інтервальні оцінки показників надійності

2.1 Загальна методика визначення точкових і інтервальних оцінок

Позначимо через точкову оцінку деякого показника надійності, визначеного для випадкової величини . Точкова оцінка є функція вибіркових значень . Очевидно, що вибіркові значення випадкові і число їх кінцеве, оцінка також випадкова. Отже, значення буде змінюватися від вибірки до вибірки і відрізнятися від істинного значення показника .

Як точкові оцінки можуть виступати різні оцінні функції, і завдання полягає в тім, щоб вибрати найкращу з них. У результаті вирішення цього завдання методами математичної статистики показано, що найкращою буде та оціночна функція, при якій точкова оцінка задовольняє критеріям достатності, незміщенності і ефективності [21].

Оцінка називається достатньою, якщо зі збільшенням обсягу вибірки n значення сходиться за імовірністю до істинного значення показника , тобто

,

де ‑ завідома задана мала величина.

Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне очікування дорівнює істинному значенню показника , тобто

Оцінка є ефективною; якщо при даному фіксованому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію, тобто

Зокрема, у математичній статистиці доведено, що найкращою точковою оцінкою математичного сподівання, що задовольняє критеріям достатності, незміщенності і ефективності, є середнє арифметичне

. (4.1)

Отже, знайдена за формулою (4.1) точкова оцінка показника має дві важливі особливості, пов'язані з малим обсягом вибірки :

а) вона істотно відрізняється від справжнього (але не відомого нам) значення показника ;

б) вона є при кожному фіксованому обсязі вибірки реалізацією випадкової величини, що позначимо через , а щільність розподілу ‑ .

Для визначення можливого рознесення точкової оцінки показника щодо його істинного значення використовують довірчий інтервал, у середині якого перебуває істинне значення показника із заданою довірчою імовірністю. Інтервальною оцінкою називають довірчий інтервал разом із заданою для нього довірчою імовірністю.

Величини довірчого інтервалу і довірчої імовірності визначають відповідно точність і вірогідність інтервальної оцінки.

Довірчий інтервал для показника ‑ це такий інтервал , який із імовірністю покриває невідоме істинне значення показника . Імовірність називається довірчою імовірністю. Відповідно до цього визначення можна записати:

, (4.2)

де ‑ щільність розподілу випадкової величини , для якої визначена при фіксованому обсязі вибірки її реалізація ‑ точкова оцінка .

Довірчу ймовірність звичайно задають. При цьому випливає завдання визначення величини довірчого інтервалу . Розглянемо її рішення. Введемо позначення для ймовірностей:

, (4.3)

, (4.4)

Зміст ймовірностей , і зображено на рис. 4.1.

Очевидно, що

(4.5)

У математичній статистиці показано: для того, щоб довірчий інтервал покривав найбільш імовірні значення невідомого показника , необхідне виконання рівності

, (4.6)

тобто, щоб імовірності і були однакові (рис. 4.1).

Визначимо імовірності і через задану довірчу імовірність . Використовуючи співвідношення (4.5) і (4.6), одержимо:

. (4.7)

Рис. 4.1.

Отже, формально завдання визначення меж і довірчого інтервалу вирішена: використовуючи задане значення довірчої ймовірності , за формулами (4.7) знаходимо значення ймовірностей і , а потім за формулами (4.3) і (4.4) визначаємо такі межі і , які забезпечують знайдені значення ймовірностей і . Однак тут необхідно враховувати те, що нам невідомий ні вид густини розподілу , що входить у вирази (4.3) і (4.4), ні її параметри. Тому доводиться як параметри в підставляти їх вибіркові оцінки. Якщо вибіркові оцінки є реалізаціями випадкової величини Y, то конкретний вигляд кривої і її положення на осі в будуть змінюватися від вибірки до вибірки. Отже, від вибірки до вибірки для однієї і тієї ж випадкової величини будуть змінюватися положення і розміри довірчого інтервалу, наприклад, так, як на рис. 4.2.

Рис. 4.2.

Враховуючи це, необхідно підкреслити одну важливу особливість формули (4.2). Її не можна розглядати як імовірність влучання випадкової величини у деякий фіксований інтервал насамперед, тому що оцінюваний невідомий показник ‑ не випадкова величина. Випадковими виявляються розміри і розміщення довірчого інтервала . Саме тому варто говорити, що довірчий інтервал покриває невідоме значення оцінюваного показника із заданою довірчою ймовірністю.

Введемо у вирази (4.3) і (4.4) замість y змінну

.

З врахуванням цієї заміни запишемо:

, (4.8)

де і ‑ коефіцієнти точності, обумовлені співвідношеннями

. (4.9)

Очевидно, що коефіцієнти й залежать, по-перше, від ймовірностей і і, по-друге, від виду густини розподілу . Функція густини розподілу , у свою чергу, залежить від закону розподілу випадкової величини і від обсягу вибірки , за якою знаходять точкову оцінку . Нижче будуть розглянуті конкретні види функції при визначенні інтервальної оцінки для середнього напрацювання на відмову, середнього часу відновлення і коефіцієнта готовності.

За допомогою відомих коефіцієнтів точності і межі довірчого інтервалу і відповідно до формул (4.9) знаходять таким способом:

(4.10)

На підставі викладеного вище можна скласти загальну методику знаходження точкової й інтервальної оцінок показника надійності :

1. За вихідними статистичним даним (по вибірці ) визначається точкова оцінку (формула (4.1).

2. За заданим значенням довірчої ймовірності розраховується значення ймовірностей і (формули (4.7).

3. За таблицями або графіками ( що залежать від закону розподілу випадкової величини ) визначають значення коефіцієнтів точності і .

4. Розраховуємо межі довірчого інтервалу і за формулами (4.10). Результат записуємо у вигляді співвідношення , яке варто читати так: з імовірністю невідоме значення показника , укладене в інтервалі .