 
        
        - •1. Загальна постановка завдань статистичної оцінки показників надійності
- •1.1. Види випробувань на надійність
- •1.2. Планування статистичних випробувань на надійність
- •1.3. Поняття вибірки. Параметричні і непараметричні завдання статистики
- •2. Точкові та інтервальні оцінки показників надійності
- •2.1 Загальна методика визначення точкових і інтервальних оцінок
- •3. Визначення інтегральної оцінки середнього наробітку на відмову
- •3.2 Визначення інтервальної оцінки середнього часу відновлення
2. Точкові та інтервальні оцінки показників надійності
2.1 Загальна методика визначення точкових і інтервальних оцінок
Позначимо
через 
 точкову
оцінку
деякого показника надійності,  визначеного
для випадкової величини
точкову
оцінку
деякого показника надійності,  визначеного
для випадкової величини 
 .
Точкова оцінка 
є функція вибіркових значень
.
Точкова оцінка 
є функція вибіркових значень 
 .
Очевидно, що вибіркові значення випадкові
і число їх кінцеве, оцінка 
також випадкова. Отже, значення 
буде змінюватися від вибірки до вибірки
і відрізнятися від істинного значення
показника 
.
.
Очевидно, що вибіркові значення випадкові
і число їх кінцеве, оцінка 
також випадкова. Отже, значення 
буде змінюватися від вибірки до вибірки
і відрізнятися від істинного значення
показника 
.
Як точкові оцінки можуть виступати різні оцінні функції, і завдання полягає в тім, щоб вибрати найкращу з них. У результаті вирішення цього завдання методами математичної статистики показано, що найкращою буде та оціночна функція, при якій точкова оцінка задовольняє критеріям достатності, незміщенності і ефективності [21].
Оцінка називається достатньою, якщо зі збільшенням обсягу вибірки n значення сходиться за імовірністю до істинного значення показника , тобто
 ,
,
де
 ‑ завідома задана мала величина.
‑ завідома задана мала величина.
Оцінка
називається незміщеною,
якщо її математичне очікування дорівнює
істинному значенню показника 
 ,
тобто
,
тобто
 
Оцінка є ефективною; якщо при даному фіксованому обсязі вибірки вона має мінімальну дисперсію, тобто
 
Зокрема, у математичній статистиці доведено, що найкращою точковою оцінкою математичного сподівання, що задовольняє критеріям достатності, незміщенності і ефективності, є середнє арифметичне
 .
                                    (4.1)
.
                                    (4.1)
Отже, знайдена за формулою (4.1) точкова оцінка показника має дві важливі особливості, пов'язані з малим обсягом вибірки :
а) вона істотно відрізняється від справжнього (але не відомого нам) значення показника ;
б)
вона є при кожному фіксованому обсязі
вибірки 
реалізацією
випадкової величини, що позначимо через
 ,
а щільність розподілу ‑
,
а щільність розподілу ‑ 
 .
.
Для
визначення можливого рознесення точкової
оцінки 
 показника щодо його істинного значення
використовують довірчий інтервал, у
середині якого перебуває істинне
значення показника із заданою довірчою
імовірністю. Інтервальною
оцінкою
називають довірчий інтервал разом із
заданою для нього довірчою імовірністю.
показника щодо його істинного значення
використовують довірчий інтервал, у
середині якого перебуває істинне
значення показника із заданою довірчою
імовірністю. Інтервальною
оцінкою
називають довірчий інтервал разом із
заданою для нього довірчою імовірністю.
Величини довірчого інтервалу і довірчої імовірності визначають відповідно точність і вірогідність інтервальної оцінки.
Довірчий
інтервал
для показника 
‑ це такий інтервал 
 ,
який із імовірністю
,
який із імовірністю 
 покриває невідоме істинне значення
показника 
.
Імовірність 
називається довірчою імовірністю.
Відповідно до цього визначення можна
записати:
покриває невідоме істинне значення
показника 
.
Імовірність 
називається довірчою імовірністю.
Відповідно до цього визначення можна
записати:
 ,
                            (4.2)
,
                            (4.2)
де
‑ щільність розподілу випадкової
величини 
 ,
для якої визначена при фіксованому
обсязі вибірки 
її реалізація ‑ точкова оцінка 
.
,
для якої визначена при фіксованому
обсязі вибірки 
її реалізація ‑ точкова оцінка 
.
Довірчу
ймовірність 
 звичайно задають. При цьому випливає
завдання визначення величини довірчого
інтервалу 
.
Розглянемо її рішення. Введемо позначення
для ймовірностей:
звичайно задають. При цьому випливає
завдання визначення величини довірчого
інтервалу 
.
Розглянемо її рішення. Введемо позначення
для ймовірностей:
 ,
                                  (4.3)
,
                                  (4.3)
 ,
                                  (4.4)
,
                                  (4.4)
Зміст
ймовірностей 
 ,
,
 і 
зображено на рис. 4.1.
і 
зображено на рис. 4.1.
Очевидно, що
 (4.5)
                                            (4.5)
У
математичній статистиці показано: для
того, щоб довірчий інтервал 
 покривав найбільш імовірні значення
невідомого показника 
,
необхідне виконання рівності
покривав найбільш імовірні значення
невідомого показника 
,
необхідне виконання рівності
 ,
                                                    (4.6)
,
                                                    (4.6)
тобто,
щоб імовірності 
 і
і 
 були однакові (рис. 4.1).
були однакові (рис. 4.1).
Визначимо
імовірності 
і 
 через задану довірчу імовірність 
.
Використовуючи співвідношення (4.5) і
(4.6), одержимо:
через задану довірчу імовірність 
.
Використовуючи співвідношення (4.5) і
(4.6), одержимо:
 .
                             (4.7)
.
                             (4.7)
 Рис.
4.1.
Рис.
4.1.
Отже,
формально завдання визначення меж 
 і
і 
 довірчого інтервалу вирішена:
використовуючи задане значення довірчої
ймовірності 
,
за формулами (4.7) знаходимо значення
ймовірностей
довірчого інтервалу вирішена:
використовуючи задане значення довірчої
ймовірності 
,
за формулами (4.7) знаходимо значення
ймовірностей 
 і 
,
а потім за формулами (4.3) і (4.4) визначаємо
такі межі
і 
,
а потім за формулами (4.3) і (4.4) визначаємо
такі межі 
 і
і ,
які забезпечують знайдені значення
ймовірностей 
і 
.
Однак тут необхідно враховувати те, що
нам невідомий ні вид густини розподілу
,
які забезпечують знайдені значення
ймовірностей 
і 
.
Однак тут необхідно враховувати те, що
нам невідомий ні вид густини розподілу
 ,
що входить у вирази (4.3) і (4.4), ні її
параметри. Тому доводиться як параметри
в 
підставляти їх вибіркові оцінки. Якщо
вибіркові оцінки 
є реалізаціями випадкової величини Y,
то конкретний вигляд кривої 
і її положення на осі в
будуть змінюватися від вибірки до
вибірки. Отже, від вибірки до вибірки
для однієї і тієї ж випадкової величини
будуть змінюватися положення і розміри
довірчого інтервалу, наприклад, так, як
на рис. 4.2.
,
що входить у вирази (4.3) і (4.4), ні її
параметри. Тому доводиться як параметри
в 
підставляти їх вибіркові оцінки. Якщо
вибіркові оцінки 
є реалізаціями випадкової величини Y,
то конкретний вигляд кривої 
і її положення на осі в
будуть змінюватися від вибірки до
вибірки. Отже, від вибірки до вибірки
для однієї і тієї ж випадкової величини
будуть змінюватися положення і розміри
довірчого інтервалу, наприклад, так, як
на рис. 4.2.
 
Рис. 4.2.
Враховуючи це, необхідно підкреслити одну важливу особливість формули (4.2). Її не можна розглядати як імовірність влучання випадкової величини у деякий фіксований інтервал насамперед, тому що оцінюваний невідомий показник ‑ не випадкова величина. Випадковими виявляються розміри і розміщення довірчого інтервала . Саме тому варто говорити, що довірчий інтервал покриває невідоме значення оцінюваного показника із заданою довірчою ймовірністю.
Введемо у вирази (4.3) і (4.4) замість y змінну
 .
.
З врахуванням цієї заміни запишемо:
 ,
                                     (4.8)
,
                                     (4.8)
де
 і
і 
 ‑ коефіцієнти точності, обумовлені
співвідношеннями
‑ коефіцієнти точності, обумовлені
співвідношеннями
 .
                                                (4.9)
.
                                                (4.9)
Очевидно,
що коефіцієнти 
 й
й 
 залежать, по-перше, від ймовірностей 
і 
і, по-друге, від виду густини розподілу
залежать, по-перше, від ймовірностей 
і 
і, по-друге, від виду густини розподілу
 .
Функція густини розподілу
.
Функція густини розподілу 
 ,
у свою чергу, залежить від закону
розподілу випадкової величини
,
у свою чергу, залежить від закону
розподілу випадкової величини 
 і від обсягу 
вибірки
і від обсягу 
вибірки
 ,
за якою знаходять точкову оцінку 
.
Нижче будуть розглянуті конкретні види
функції 
при визначенні інтервальної оцінки для
середнього напрацювання на відмову,
середнього часу відновлення і коефіцієнта
готовності.
,
за якою знаходять точкову оцінку 
.
Нижче будуть розглянуті конкретні види
функції 
при визначенні інтервальної оцінки для
середнього напрацювання на відмову,
середнього часу відновлення і коефіцієнта
готовності.
За допомогою відомих коефіцієнтів точності і межі довірчого інтервалу і відповідно до формул (4.9) знаходять таким способом:
 (4.10)
                  (4.10)
На підставі викладеного вище можна скласти загальну методику знаходження точкової й інтервальної оцінок показника надійності :
- За вихідними статистичним даним (по вибірці ) визначається точкова оцінку (формула (4.1). 
- За заданим значенням довірчої ймовірності розраховується значення ймовірностей і (формули (4.7). 
- За таблицями або графіками ( що залежать від закону розподілу випадкової величини ) визначають значення коефіцієнтів точності  і і . .
- Розраховуємо межі довірчого інтервалу і за формулами (4.10). Результат записуємо у вигляді співвідношення  ,
	яке варто читати так: з імовірністю 
	
	невідоме значення показника 
	
,
	укладене в інтервалі 
	
. ,
	яке варто читати так: з імовірністю 
	
	невідоме значення показника 
	
,
	укладене в інтервалі 
	
.
