1.3. Поняття вибірки. Параметричні і непараметричні завдання статистики

У процесі випробувань на надійність результати мають вигляд послідовності деяких величин , які є реалізаціями деякої випадкової величини (у цьому випадку ‑ наробіток між відмовами). Сукупність значень називається вибіркою, де ‑ обсяг вибірки, а ‑ вибіркові значення випадкової величини . Для вибірки застосовується більш компактне позначення .

За допомогою вибірки визначають характеристики випадкової величини, які називають вибірковими (або точковими) оцінками відповідних характеристик. Таким чином, усі раніше розглянуті статистичні оцінки показників надійності (див. розділ 2), є вибірковими (точковими) оцінкам цих показників. Тому що вибіркові оцінки являють собою функції випадкових вибіркових значень, то випадковими виявляються й самі вибіркові оцінки. Використовуючи, замість невідомих істинних значень характеристик, їхні вибіркові оцінки, ми свідомо допускаємо помилки. Величина цієї помилки залежить від двох основних факторів: ступеня однорідності та обсягу вибірки.

Вибірка називається однорідною, якщо всі вибіркові значення є реалізаціями однієї і тої ж випадкової величини із густиною розподілу . У неоднорідної вибірки можна виділити групи елементів, що є реалізаціями випадкових величин з різними густинами розподілень. Неоднорідність вибірки викликана зміною умов експлуатації (кліматичні умови, режими навантаження, кваліфікація обслуговуючого персоналу та інше) протягом періоду випробувань. Виникаючі при цьому помилки не можуть бути зменшені за рахунок збільшення обсягу вибірки, через свою нестатистичну природу. Виявлення і облік факторів умов експлуатації, які в цьому випадку повинні контролюватися, здійснюється за допомогою спеціальних статистичних методів, зокрема методів дисперсійного і факторного аналізу [19]. Надалі будемо розглядати статистичні методи, які застосовують тільки для однорідних вибірок.

Обсяг однорідної вибірки істотно впливає на точність вибіркових оцінок. Чим більше обсяг вибірки, тим більше вона містить інформації про випадкову величину, а отже більш точними виявляються її вибіркові оцінки. Значення вибіркових оцінок теоретично можуть збігатися з невідомими істинними значеннями характеристик тільки при нескінченному обсязі однорідної вибірки. Однак вибірки, з якими приходиться мати справу під час випробування на надійність, завжди обмежені і, як правило, незначні за обсягом. Тому при визначенні вибіркових оцінок завжди необхідно оцінювати їхню точність і вірогідність, використовуючи методи математичної статистики. Таким чином, виникають завдання найкращого використання укладеної в обмеженій за обсягом вибірці інформації з метою одержання найбільш точної оцінки невідомих характеристик випадкової величини.

Розрізняють параметричні і непараметричні завдання статистичного оцінювання. У параметричних завданнях припускають, що вид закону розподілу відомий, а невідомими є лише параметри цього закону. Наприклад, якщо відомо, що закон розподілу напрацювання між відмовами об'єкта експонентний, то завдання оцінки середнього напрацювання на відмову, тобто параметра цього розподілу, є параметричне завдання.

Існують два види параметричних завдань:

- оцінка невідомих параметрів функції розподілу;

- перевірка гіпотез щодо величини цих параметрів, наприклад, перевірка гіпотези про те, що середній час відновлення об'єкта не перевищує заданого значення.

У непараметричних завданнях невідомим є вид функції густини розподілу . Розрізняють два види непараметричних завдань:

оцінка невідомої функції густини ;

перевірка гіпотези про те, що невідома функція густини розподілу має заданий вигляд.

Надалі більш докладно розглянемо методи вирішення параметричних завдань. Методи статистичного визначення невідомих законів розподілення досить повно викладені в [20, 21].