2. Основні розрахункові співвідношення для показників безвідмовності комп’ютерних систем та мереж.

2.1. Послідовне з'єднання елементів на структурній схемі надійності об'єкта

Нехай об'єкт складається з елементів, з'єднаних на CCН послідовно (рис. 3.2). Це відповідає припущенню про те, що працездатність об'єкта забезпечується тільки у випадку, якщо працездатні всі його елементи.

Рис.3.2.

Введемо позначення:

‑ подія, що полягає в безвідмовній роботі -го елемента в перебігу часу наробітку ;

– подія, що полягає в безвідмовній роботі об'єкта в перебігу часу роботи .

Застосувавши ці позначення, умову працездатності об'єкта з послідовної ССН мовою алгебри подій можна представити співвідношенням

, (3.1)

де ‑ позначення операції "кон’юнкція" (добуток подій).

Якщо вважати, що події незалежні, то сходи з (3.1), відповідно до теореми множення ймовірностей, можна записати:

. (3.2)

Використовуючи відомі вирази для ймовірності безвідмовної роботи , на підставі формули (3.2) одержуємо

. (3.3)

Імовірність відмови об'єкта

.

Густина розподілу наробітку до відмови

.

Інтенсивність відмов з врахуванням виразів для й

. (3.4)

У приведених виразах через і позначені відповідно густина імовірності і інтенсивність відмов i-го елемента.

Середній наробіток до відмови об'єкта можна визначити за виразом

.

З отриманих співвідношень виходить, що при послідовному з'єднанні елементів на ССН інтенсивність відмов об'єкта дорівнює сумі інтенсивностей відмов його елементів .

У випадку експонентного розподілу наробітку до відмови елементів формули для показників безвідмовності об'єкта приймають вигляд:

2.2. Паралельне з'єднання елементів на структурній схемі надійності об'єкта

Нехай об'єкт складається з N елементів, з'єднаних на ССН паралельно (рис. 3.3). У цьому випадку відмова об'єкта виникає тільки після того, як відмовлять усі елементи. Працездатним об'єкт залишається за умови, якщо працездатний хоча б один з його елементів.

Мовою алгебри подій умова працездатності об'єкта може бути записана у вигляді

, (3.5)

де позначає операцію диз'юнкції (додавання подій).

Вираз (3.5) для виводу формули ймовірності на практиці не використовують внаслідок його громіздкості. Зручніше спочатку

Отримати формулу для імовірності

Рис.3.3.

відмови , а потім знайти .

Введемо позначення й для подій, протилежних подіям і . Тоді, користуючись відомим в алгебрі подій правилом де Моргана, замість виразу(3.5) можна записати:

. (3.6)

Цей вираз являє собою математичний запис умов відмови об'єкта, усі елементи якого, з'єднані паралельно: відмова об'єкта виникає в тому випадку, коли відмовлять одночасно всі його елементи.

Враховуючи, що

і застосовуючи відповідно до (3.6) теорему множення ймовірностей, одержуємо

. (3.7)

Користуючись відомими (див. розділ 2.1) формулами для ймовірності відмови , виходячи з рівності (3.7), виведемо наступні співвідношення для показників

;

;

;

;

.

З виразу для показника виходить, що при паралельній ССН інтенсивність відмов об'єкта не дорівнює сумі інтенсивностей відмов його елементів:

.

Це приводить до значних труднощів при розрахунках показників безвідмовності з паралельним з'єднанням елементів на ССН. Шляхи подолання цих труднощів і методи одержання загальних формул для показників безвідмовності об'єктів з паралельної ССН розглянуті в теорії резервованих систем.

Як приклад, приведемо формули для показників безвідмовності об'єкта, що складається із двох однакових елементів, включених на ССН паралельно. Нехай розподіл наробітку до відмови елементів підпорядковується експонентному закону. У цьому випадку , і формули для показників безвідмовності мають такий вигляд:

;

;

;

В останньому виразі ‑ це середнє наробітку до відмови одного елемента.