7. Оқиғаларға амалдар қолдану. Де Морган заңдары. Жиындар жүйесі. Алгебра. Жиындар функциясы. Ақырлы аддетивті функция.

Элементтері жиындардан тұратын S жиыны жиындар жүйесі деп аталады.

_{– де Морган заңдары}

_{Аныктама:Егер А окигасына А тиесілі әрбір элементар окиға В окиғасына да тиесілі болатын болса онда А окиғасы В окиғасына ілестіреді диди.}

Элементтері жиындардан тұратын S жиыны жиындар жүйесі деп аталады.

Анықтама (жиындар алгебрасы). Ω жиыны берілсін. А жүйесінің Ω жиыншалары алгебра деп аталады, егер

1⁰. А ,

2⁰. А А

3⁰. А А

Қарастырылған анықтама жиындар жүйесінің сығылып реттелген қасиеті болып табылады, ашылған кезде мынаны білдіреді: A жүйесінің Ω жиынының жиыншалары алгебра деп аталады Жиындар жүйесі бар жиынды анықтау жиындар функцясы деп атайды.

Анықтама (ықтималдықтың ақырлы - аддитвтілігі). A - Ω ақырлы жиынының жиыншалар алгебрасы. A анықталған мәнін қабылдайтын жиындар функциясы ақырлы- аддитивті деп аталады, A -ғы екі қиылыспайтын кез-келген A және B жиындары үшін жағдайда Ф жиынының ақырлы- аддитивті функциясы ақырлы-аддитивті ықтималдықтар өлшемі, ақырлы-аддитивті ықтималдық немесе қысқаша, ықтималдық деп аталады.

8. Комбинаториканың негізгі ережесі.

А жиыны n элементтен турсын ал В жиыны m элеметтен турсын.Онда nm турлі тәсілмен АВ жиынын алуымызға болады. Бул комбинаториканың негізгі ережесі болып табылады.

Негізгі комбинаторикалық ережелер (дербес жағдай)

Әртүрлі жағдайларда берілген немесе басқа шарттармен жиын элементтерінің санын есептеу керек болады.

Негізгі комбинаторикалық ережелер (жұп жағдайда) n заттардан (элементтер) a₁,…,a_n және m заттардан (элементтерден) b₁,…,b_m осылардан m n әртүрлі жұптар арқылы (a_i, b_j) құруға болады, мұндағы бірініш a_i элементі бірінші топтан алынады, екінші элементті b_j - екінші топтан алынады.

яғни,

1. Негізгі комбинаторикалық ережелер (жалпы жағдай)

Келесі есептен бастайы. Егер автомобиль жеке қолданушынікі болса автомобиль номері 3 цифрдан және 4 латын әріптерінен тұрады, ал қалған жағдайда 3 әріптен тұрады. Осы жағдайлардың қанша автомобильдің әртүрлі номерлері кездеседі?

Осы типтегі есептерді шешу үшін негізгі комбинаторикалық ережелері қолданады. S бүтін саны берілсін және s әрекетін бірінен кейін бірі орындалуы қажет. Егер бірінші іс-әрекет n₁ тәсілмен, екінші әрекет n₂ тәсілмен,

..................................................

Соңғы s әрекеті n_s тәсілмен орындалса, онда барлық s тізбекті әрекеті тәсілмен орындалады.

S элементтер тобынан тұрсын:

- n₁ бірінші топ элементтері,

- n₂ екінші топ элементтері,

…………………………….

- n_s s -ші топ элементтері.

9. Реттелген және реттелмеген таңдамалар. Қайталанумен және қайталанусыз жүргізілетін реттелген таңдаулар - орналастырулар.

Сонымен, бірдей құрамды таңдауларды екі түрге бөлеміз:

А)Реттелмеген таңдау элементтердің орналасуын есепке алмайтын таңдаулар сияқты–екі таңдау бірдей, егер бір таңдаудың әр элементі санын есепке алғанда дәл сол мөлшерде екінші таңдаудың құрамында болса және керісінше.

Солай (1,3,1) және (1,1,3) таңдаулары реттелмеген таңдаулар ретінде тепе тең және таңдаулардың есебін жүргізгенде бір таңдау деп саналады.

В) Реттелген таңдаулар құрамынан басқа тағы да элементтердің орналасуын есепке алады.Осының өзінде, әр түрлі құрамды және бірдей құрамды таңдаулар, элементтер орналасуы өзгеше таңдаулар әр түрлі болып жарияланады.

Солай (1,3,1) және (1,1,3) таңдаулары әр түрліге жатады және таңдаулар есептеуін жүргізгенде екеуі жеке жеке есепке алынады.

Қорытындыға келейік.

Таңдаулар–k-мүшелі (кейбіреулері қайталанып келуі мүмкін) генералды сәйкестіктің жиыны.

Қайталанатын реттелген таңдаулар.

Ешбір шектеусіз к ретінде натурал сан аламыз. сондықтан .

Сонымен, таңдаудың a₁ номерлі шары n түрлі әдіспен алынады.

Қораптың жаңару мүмкіндігіне байланысты сол таңдаудың a₂ номерлі шары да n түрлі әдіспен алынады.Ақыр аяғында таңдаудың соңғы a_k номерлі шары да n түрлі әдіспен алынады.

Сонымен, негізгі комбинаторлық ережеге сәйкес таңдаудың барлығы (a₁,…a_k) рет болады. Таңдаудың жасалу процесі таңдау қайталанатынын және реттелген екенін көрсетеді.

Қорытындылай келе n көлемді генеральды жиынтықтан к көлемді қайталанатын реттелген барлық мүмкін n^k шар алынады.

Қайталанбайтын реттелген таңдау

N түрлі шары бар қорап алынсын. Қораптан алынатын k шарлар қорап ішіндегі n шардан артық болмайды себебі қорап жанартылмайды

Қайталанбайтын реттелген таңдаулар орналастыру деп аталады. k бойынша n элементті орналастыру санын былай белгілейді: . Осылайша, = n(n-1)…(n-k+1).

10. Реттелмеген қайталанбайтын таңдамалар(теру). (9-шы сұраққа қара)

11. Оқиғаларды көбейту формуласы. Мысал. (2-сұрақ)

12. Қайталанумен және қайталанусыз жүргізілетін таңдаулар. Реттелген және реттелмеген таңдаулар. (9-шы сұраққа қара)

12. Толық ықтималдықтар формуласы. Мысал.

14. Байес формуласы. Мысал

15. Элементар оқиғалар кеңістігін дұрыс құрудың маңыздылығы. Де Мере парадоксы.

Де Мере 3 ойын сүйегін лақтырған кезде 11 ұпай саны 12-ге қарағанда көп түседі. Паскаль осы сұрақтың шешімін тапты. Ферма Паскальға: «Мен ақиқат әр уақытта бірдей екенін көрдім: Парижде де, Тулузде де» деп жазды. Де Мере былай есептеді: 11 ұпайы келесі 6 тәсілмен құлауы мүмкін:

11 ұпайы: 6+6+3+6+3+3=27 тәсілмен, 12 ұпайы 6+6+3+3+6+1=25 тәсілмен құлайды, яғни, 11 ұпайдың құлау жиілігі жоғары, ықтималдығы .

Бақылау нәтижелері дұрыс математикалық моделінің құрылуына әкелді. Ω кеңістігі мынадай шығулардан тұрады =(а, в, с), мұндағы а, в және с бірінші, екінші және үшінші рет лақтырған кездегі ұпайлар саны. =(а, в, с) =(а₁, в₁, с₁)= ⁽¹⁾ теңдік а+в+с= а₁+в₁+с₁ емес, мынаны білдіреді: а=а₁, в=в₁, с=с₁, де Мере осылай ойлады.

Басқа сөзбен айтқанда, егер түскен ұпайлармен айырмашылығы болса немесе оның түсу ұпайларының сәйкес келуі түсу ретін көрсетсе, онда екі шығу әртүрлі болып саналады.

Ойын сүйегінің «дұрыстық» және «бірдейлілігі» кез-келген басқа шығу алдында ешқандай шығуды қажет етпейді. Сондықтан барлық шығулар тең мүмкінді, яғни, әрбір  шығу ықтималдығы р():1/N тең, мұндағы N - -ғы элементтер саны.

Әрбір лақтыру кезінде 6 –дан 1 мүмкін жағдай орындалады, онда үш рет лақтыру кезінде N=6³=216 (бұл келесі бөлімде дәлелденген).

Үш рет лақтыру кезіндегі 11 және 12 ұпайы сәкесінше А және В оқиғалары болсын А={=(а,в,с): а+в+с =11} и В={=(а,в,с): а+в+с =12}.

Онда және

Сонымен 11 ұпайының ықтималдығы 12 ұпайына қарағанда ықтималдығы көбірек. Де Мере 11 ұпайы 12-ге қарағанда жиі түсетінін байқаған.